ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

landreou · #1

Γεια σε ολους τους φίλους του φόρουμ.
¨Οσον αφορά το θεώρημα FERMAT στη σελίδα 261 του βιβλίου λέει
σύμφωνα με τα σχήματα 29 και 30 ( σελίδα 258 και 259 9αντίστοιχα ) ότι πιθανες θέσεις τοπικών ακροτάτων
μια συνάρτησης είναι
[1] Τα εσωτερικά σημεία που η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται .
[2] Τα εσωτερικά σημεία που η $f\left(x\right)$ δεν παραγωγίζεται .
[3] Τα άκρα του διαστήματος που ορίζεται η $f\left(x\right)$ αν υπαρχουν .

ΕΡΩΤΗΣΗ
[1] Γιατί λέει για τα σημεία που δεν παραγωγίζεται , αφού το θεώρημα ζητάει να είναι παραγωγίσιμη στο
σημείο που παρουσιάζει τοπικό ακρότατο ;

[2] Πως φαίνεται απο τα διαγράματα αυτά ότι η $f\left(x\right)$ δεν είναι παραγωγίσιμη στα σημεία αυτά ;

kostas_zervos · #2

[1]Τα τρία συμπεράσματα είναι για όλες τις περιπτώσεις . Δεν αναφέρεται μόνο στο Fermat. Υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις για τοπικό ακρότατο , δεν θα ισχύουν και τα τρία συγχρόνως.
[2]Είναι τα σημεία που η γραφική παράσταση δεν έχει εφαπτόμενη (παρουσιάζει "γωνία") στο σχήμα 29 το x_2

στο σχήμα 31 είναι το x_0=1

....

landreou · #3

Δεν κατάλαβα.
Το βιβλίο λέει ότι κρίσιμα σημεία συνάρτησης είναι εκείνα :

[1] Που η $f'(\left x)\right$ μηδενίζεται ( το θέωρημα fernat το λέει )
[2] Που η $f(\left x)\right$ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ( το θεώρημα fermat θέλει να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο )
[3] Τα άκρα του διαστήματος που η $f(\left x )\right$ ( αν αυτά υπάρχουν ).

Πως βγάζει το συμπέρασμα [2] ;

Γενικά μιλάει για κρίσιμα σημεία δηλαδή ;
Και αν ναι τοτε ποια είναι οι πιθανες θέσεις ακροτάτων απο τα κρίσιμα σημεία ;

kostas_zervos · #4

Από το σχολικό βιβλίο σελ 261:

ΣΧΟΛΙΟ
Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων.

_______________________________(από εδώ και κάτω είναι γενικά συμπεράσματα)
Επομένως, όπως φαίνεται και στα σχήματα 29 και 30, οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης σ’ ένα διάστημα Δ είναι:
1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται.
2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται.
3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).
Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

landreou έγραψε: Πως βγάζει το συμπέρασμα [2] ;
Γενικά μιλάει για κρίσιμα σημεία δηλαδή ;

Το [2] δεν το βγάζει από το Fermat. Επικαλείται τα σχήματα.

landreou έγραψε: Και αν ναι τοτε ποια είναι οι πιθανες θέσεις ακροτάτων απο τα κρίσιμα σημεία ;

Τι εννοείς;

landreou · #5

Πως καταλαβαίνουμεαπο το γραφημα συνάρτησης ότι σε ένα σημείο δεν είναι παραγωγίσιμη ;
Στην πιο πάνω απαντηση σου λες
" Είναι τα σημεία που η γραφική παράσταση δεν έχει εφαπτόμενη (παρουσιάζει "γωνία") "
Δηλαδή τι πρέπει να γίνεται σε αυτό το σημείο της $_{Cf}$ ;

kostas_zervos · #6

α)Κοίταξε τα σχήματα που αναφέρω πιο πάνω και δες τι συμβαίνει στα σημεία που δεν είναι παραγωγίσιμη (στο σχήμα 29 το x_2

στο σχήμα 31 είναι το x_0=1

).

Αυτό για το γεωμετρικό μέρος.
β)Για να συμβαίνει αυτό πρέπει η

να είναι συνεχής , αλλά όχι παραγωγίσιμη στο x_0

. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι τα $\displaystyle \lim_{x\to x_o^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ και $\displaystyle \lim_{x\to x_o^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ είναι πραγματικοί αριθμοί αλλά διαφορετικοί μεταξύ τους.
γ)Πειραματίσου με τις συναρτήσεις f(x)=|x|

, $f(x)=\begin{cases}x^2\;,\;x>0\\-x\;,\;x\leq 0\end{cases}$ , $f(x)=\begin{cases}x^2\;,\;x>0\\x\;,\;x\leq 0\end{cases}$ σχεδιάζοντας τις γραφικές τους παραστάσεις και έλεγξε τη συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στο x_0=0

.
Σ' αυτά το x_0=0

είναι κρίσιμο σημείο (δεν υπάρχει η f'(0)

και η

είναι συνεχής σ' αυτό) αλλά τοπικό ακρότατο είναι μόνο στις δύο πρώτες περιπτώσεις όπως θα δεις από τα σχήματα.

landreou · #7

Πρέπει δηλαδη να είναι συνεχής στο σημείο αλλα όχι παραγωγίσιμη.
Αυτο το διαπιστώνουμε μελετώντας συνέχεια και παραγωγισιμότητα στο σημείο αυτό.

Από τα διαγράμματα δε μπορώ να καταλάβω τίποτα .
Απλά στα σημεία που λεμε στα διαγράμματα 29 και 31 η εφαπτομένη μπορεί και κάνει κλίση ενώ στα άλλα μόνο παράλληλη του χ'χ.

kostas_zervos · #8

landreou έγραψε: Από τα διαγράμματα δε μπορώ να καταλάβω τίποτα .
Απλά στα σημεία που λέμε στα διαγράμματα 29 και 31 η εφαπτομένη μπορεί και κάνει κλίση ενώ στα άλλα μόνο παράλληλη του χ'χ.

Δεν υπάρχει η εφαπτόμενη στα σημεία αυτά!!!

landreou · #9

Γεια σας .
Σε ποιά σημεία της γραφικής παράστασης μια συνάρτησης αναζητούμε ασύμπτωτες ;
Αν μπορείτα να μου εξηγείτε και τον λόγο γιατί έτσι όπως τα λέει το σχολικό βιβλίο
πιο πολύ μπερδεύτηκα .
Σας ευχαριστώ

kostas_zervos · #10

landreou έγραψε:Γεια σας .
Σε ποιά σημεία της γραφικής παράστασης μια συνάρτησης αναζητούμε ασύμπτωτες ;
Αν μπορείτα να μου εξηγείτε και τον λόγο γιατί έτσι όπως τα λέει το σχολικό βιβλίο
πιο πολύ μπερδεύτηκα .
Σας ευχαριστώ

α)Βρίσκουμε Πεδίο ορισμού.
β)Για κατακόρυφες:
Για να είναι ασύμπτωτη μια κατακόρυφη ευθεία x=a

, θα πρέπει η C_f

να την πλησιάζει όλο και περισσότερο καθώς το

πλησιάζει στο

από δεξιά ή από αριστερά. Για να συμβεί αυτό πρέπει οι τιμές τις συνάρτησης κοντά στο

να αυξάνονται ή να μειώνονται απεριόριστα. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ ή $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$ . Δες μερικές γραφικές παραστάσεις για να το καταλάβεις.

Έτσι τις ψάχνουμε στα άκρα ανοικτών διαστημάτων του ΠΟ (που είναι πραγματικοί αριθμοί). π.χ. αν $D_f=(-\infty,2)\cup[3,+\infty)$ εξετάζουμε αν είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη η $\varepsilon:x=2$ με το $\displaystyle \lim_{x\to 2^+}f(x)$ .

ή

Στα σημεία που η

δεν είναι συνεχής . π.χ. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{2}{x-3}\;,\;x>3\\x^2\;,\;x\leq 3\end{cases}$ ελέγχω για ασύμπτωτη στο x_0=3

.
γ)Για οριζόντιες ή πλάγιες:

Για να είναι ασύμπτωτη μια οριζόντιες ή πλάγια ευθεία y=b

ή $y=\lambda x+b$ , θα πρέπει η C_f

να την πλησιάζει όλο και περισσότερο καθώς το

πλησιάζει στο $\pm\infty$ .

Άρα η κατακόρυφη απόσταση C_f

και ευθείας θα πλησιάζει στο

, επομένως $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-b\right]=0$ ή $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(\lambda x+b)\right]=0$ .

Έτσι ψάχνουμε στα άκρα ανοικτών διαστημάτων του ΠΟ που είναι $\pm\infty$ για να μπορεί $x\to\pm\infty$ .
π.χ. αν $D_f=(-\infty,7)\cup(9,+\infty)$ ελέγχω για οριζόντιες- πλάγιες στα $+\infty\;,\;-\infty$ .
π.χ. αν $D_f=(-10,2)\cup(3,+\infty)$ ελέγχω για οριζόντιες- πλάγιες στο $+\infty$ .

Αν $\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\pm\infty$ ή δεν υπάρχει , τότε σταματάω (δεν έχει την αντίστοιχη ασύμπτωτη).
Αν $\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lambda\in\mathbb{R}$ και μετά $\displaystyle \lim_{x\to \pm\infty}\left[f(x)-\lambda x\right]=\pm\infty$ ή δεν υπάρχει , τότε σταματάω (δεν έχει την αντίστοιχη ασύμπτωτη).
δ)Μπορούμε να αποφύγουμε να ψάξουμε στις παρακάτω περιπτώσεις:
i)Πολυωνυμικές βαθμού $\geq 1$ που δεν έχουν ασύμπτωτες.
i)Ρητές με βαθμό αριθμητή κατά δύο τουλάχιστον του βαθμού του παρονομαστή που δεν έχουν οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες (π.χ. $f(x)=\dfrac{x^4+x+2}{x^2-3x+1}$ ).

landreou · #11

Ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις .

Λέει επίσης το βιβλίο στη σελίδα 274 σαν σχόλιο :
Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ' ένα
διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης f σε κάθε σημείο
του Δ βρίσκεται "κάτω" (αντιστοίχως "πάνω") από τη γραφική της παράσταση
(σχήμα 39 σελίδα 273), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

Γιατί λέει αυτό το τελευταίο ( με έντονα γράμματα μπλε )αφού ακόμα και στο σημείο επαφής τους η εφαπτόμενη εκεί δεν
είναι κάτω από τη γραφική της παράσταση ;

#12

landreou έγραψε:Ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις .

Λέει επίσης το βιβλίο στη σελίδα 274 σαν σχόλιο :
Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ' ένα
διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης f σε κάθε σημείο
του Δ βρίσκεται "κάτω" (αντιστοίχως "πάνω") από τη γραφική της παράσταση
(σχήμα 39 σελίδα 273), με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

Γιατί λέει αυτό το τελευταίο ( με έντονα γράμματα μπλε )αφού ακόμα και στο σημείο επαφής τους η εφαπτόμενη εκεί δεν
είναι κάτω από τη γραφική της παράσταση ;

Γιατί στο σημείο επαφής ισχύει η ισότητα!

Πάρε π.χ. τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=e^x,}$ η οποία είναι κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}.}$
Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο $\displaystyle{M(0,f(0))}$ είναι η $\displaystyle{y=x+1.}$

Επομένως ισχύει

$\displaystyle{e^x\geq x+1,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

Και μάλιστα η ανισότητα είναι αυστηρή για κάθε $\displaystyle{x\ne 0}$ και η ισότητα ισχύει μόνο όταν $\displaystyle{x=0.}$

landreou · #13

Επίσης στον ορισμό των σημείων καμπής (σελίδα 275) μια ερώτηση :

Αν η γραφική παράσταση έχει εφαπτόμενη στο ζητούμενο σημείο
αλλα η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό ( όπως υπονοεί )
τότε αυτά τα δύο δεν συγκρούονται μεταξύ τους γιατι για να υπαρχει εφαπτομένη σε ένα
σημείο γραφικής παράστασης πρέπει να υπαρχει η παράγωγος ( συντελεστής διεύθυνσης )

Αλλη ερώτηση επίσης (σελίδα 275 πιο κάτω ) λεέι ότι στα σημεία καμπής η εφαπτόμένη της
γραφικής παράστασης "διαπερνα την καμπύλη " .
Αυτό τι σημαίνει ;

kostas_zervos · #14

landreou έγραψε:Επίσης στον ορισμό των σημείων καμπής (σελίδα 275) μια ερώτηση :

Αν η γραφική παράσταση έχει εφαπτόμενη στο ζητούμενο σημείο
αλλα η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό ( όπως υπονοεί )
τότε αυτά τα δύο δεν συγκρούονται μεταξύ τους γιατι για να υπαρχει εφαπτομένη σε ένα
σημείο γραφικής παράστασης πρέπει να υπαρχει η παράγωγος ( συντελεστής διεύθυνσης )

Για τις ασκήσεις που είναι στην εξεταστέα ύλη των Πανελληνίων αυτό ισχύει.
Μπορεί όμως η εφαπτόμενη να υπάρχει και η

να μην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο. Όταν είναι κατακόρυφη (δες σελ . 215 υποπαράγραφος "κατακόρυφη εφαπτόμενη" η οποία είναι εκτός εξεταστέας) .
Ο Ορισμός εδώ περιλαμβάνει και αυτήν την περίπτωση και έτσι θα τον γράψεις στις εξετάσεις.

landreou έγραψε: Αλλη ερώτηση επίσης (σελίδα 275 πιο κάτω ) λεέι ότι στα σημεία καμπής η εφαπτόμένη της
γραφικής παράστασης "διαπερνα την καμπύλη " .
Αυτό τι σημαίνει ;

Δες το παρακάτω σχήμα:

: ask96.png (7.13 KiB) Προβλήθηκε 68070 φορές

landreou · #15

Και κάτι άλλο (άσχετο με τα προηγούμενα)
Μήπως υπάρχουν καλές σημειώσεις για τριγωνομτερία ;
Κάπου εδώ στο φορουμ έχω κατεβάσει ένα φυλλάδιο που μιλάει για τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
( εγώ ρωτάω αν υπάρχει για τριγωνομετρικές εξισώσεις , ανισώσεις , αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο κλπ )

Σας ευχαριστώ όλους .

landreou · #16

Οσον αφορά την άσκηση 7 σελ 200 ερώτημα (γ) :
Παρατηρώ ότι απο τη λύση που βλέπω (λυσάρι σελίδα 161 κάτω) ότι λέει :

Aν $f\left(x\right) > 0$ στο $\left( -1 ,1 \right) και επειδή f\left( 1 \right)= f\left( -1 \right) = 0$ έχουμε $f\left( x \right) = \sqrt{1-x^2}$ στο $\left[-1,1 \right]$ .
Για τι το λέει αυτό - γιατί βάζει κλειστό διάστημα δηλαδή μετά ; ποια θεωρία επικαλείται;

kostas_zervos · #17

landreou έγραψε:Οσον αφορά την άσκηση 7 σελ 200 ερώτημα (γ) :
Παρατηρώ ότι απο τη λύση που βλέπω (λυσάρι σελίδα 161 κάτω) ότι λέει :

Aν $f\left(x\right) > 0$ στο $\left( -1 ,1 \right) και επειδή f\left( 1 \right)= f\left( -1 \right) = 0$ έχουμε $f\left( x \right) = \sqrt{1-x^2}$ στο $\left[-1,1 \right]$ .
Για τι το λέει αυτό - γιατί βάζει κλειστό διάστημα δηλαδή μετά ; ποια θεωρία επικαλείται;

Γιατί ο τύπος $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ καλύπτει και τις περιπτώσεις f(-1)=f(1)=0

, δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα.

π.χ. Αν έχει f(x)=x+2

για $x\neq 0$ και f(0)=2

, τότε μπορείς να γράψεις f(x)=x+2

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Δεν μπορείς όμως να το κάνεις αυτό στην περίπτωση π.χ. f(x)=x+2

για $x\neq 0$ και f(0)=3

.

landreou · #18

Δεν το κατάλαβα αυτό .
Δηλαδή αν δεν ήταν $f\left( -1 \right) = 0$ και $f\left( 1 \right) = 0$ ή καποιο από τα δύο τι θα κάναμε;

Αν δεν έδιναν μηδέν αλλά κάτι άλλο; Υπήρχε τέτοια περίπτωση ;

orestisgotsis · #19

ΠΕΡΙΤΤΑ

kostas_zervos · #20

landreou έγραψε:Δεν το κατάλαβα αυτό .
Δηλαδή αν δεν ήταν $f\left( -1 \right) = 0$ και $f\left( 1 \right) = 0$ ή καποιο από τα δύο τι θα κάναμε;

Αν δεν έδιναν μηδέν αλλά κάτι άλλο; Υπήρχε τέτοια περίπτωση ;

Αν ήταν π.χ. $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ για $x\in(0,1)$ και $f(1)=2\;,\;f(-1)=4$ τότε δεν μπορούμε να γράψουμε $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ για κάθε $x\in[-1,1]$ . Βέβαια τότε δεν είναι συνεχής στο [-1,1]

όπως αναφέρει η άσκηση.