Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Νοέμ 21, 2009 10:42 pm

Έστω συνάρτηση f : [0,1]->[0,1], μη σταθερή και συνεχής . Να αποδείξετε πως υπάρχουν χ1, χ2 στο [0,1]
(χ1 διαφορετικό απο το χ2), τέτοια ώστε:

\displaystyle{ 
|f(x_1 ) - f(x_2 )| = |x_1  - x_2 |^2  
}


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Νοέμ 22, 2009 8:24 pm

Xρήστο δεν έχω σχολική λύση και θα χαρώ να δω μία. Θα γράψω μία εξωσχολική.
Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι δε μπορεί να είναι
\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| \leq \left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}
για όλα τα x_1, x_2 διότι τότε η f θα ήταν σταθερή (άσκηση του σχολικού βιβλίου)
Επομένως θα υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών x_{1},x_{2} έτσι ώστε
\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| >\left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2} (1)
Επίσης υπάρχει και ένα ζεύγος αριθμών x_{1},x_{2} ώστε
\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| \leq \left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2} (2)
για παράδειγμα το ζεύγος x_{1}=0,\,\,x_{2}=1
Θεωρούμε τώρα το D=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] που είναι συνεκτικό υποσύνολο του \mathbb{R}^2 και την συνεχή συνάρτηση F:D\rightarrow \mathbb{R} με
F\left( x,y\right) =\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| -\left| x-y\right| ^{2}
Το F\left( D\right) είναι ένα συνεκτικό υποσύνολο του \mathbb{R} δηλαδή ένα διάστημα που περιέχει
(α) ένα θετικό αριθμό λόγω της (1) και
(β) ένα αριθμό μικρότερο ή ίσο του μηδενός λόγω της (2).
Επομένως θα περιέχει το 0 που σημαίνει ότι υπάρχουν x_{1},x_{2} ώστε F\left( x_{1},x_{2}\right) =0 δηλαδή
\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| =\left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2}
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Νοέμ 22, 2009 9:12 pm

Νίκο ευχαριστώ για τη λύση, θα προσπαθήσω κι εγώ για κάτι πιο ''σχολικό''.
Ή κάποιος άλλος συνάδελφος, αν θελήσει να ασχοληθεί!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Νοέμ 23, 2009 8:02 am

nsmavrogiannis έγραψε:...Επομένως θα υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών x_{1},x_{2} έτσι ώστε
\left| f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right| >\left| x_{1}-x_{2}\right| ^{2} (1)...
Μία ιδέα είναι νά αποδειχθεί ότι υπάρχει x\in({0,1}), τέτοιος ώστε |{f(x)-f(1-x)}|>|{x-({1-x})}|^2=|{2x-1}|^2, άν καί δέν τό έχω εξετάσει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6823
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Νοέμ 24, 2009 7:39 am

H ιδέα του Γρηγόρη πηγαίνει προς την αντίστοιχη της λύσης που διαθέτω.
Θεωρεί τη συνάρτηση g με:

\displaystyle{ 
g(t) = |f(\left( {1 - t} \right)x_1  + t) - f\left( {\left( {1 - t} \right)x_2 } \right)| - |\left( {1 - t} \right)x_1  + t - \left( {1 - t} \right)x_2 |^2 ,t \in \left[ {0,1} \right] 
}


ακολουθώντας τους συμβολισμούς του Νίκου.
Eίναι καλά ορισμένη, γιατί (1-t)x1+t ,(1-t)x2 ανήκουν στο [0,1], g(0)>0, g(1)<1 bolzano g(ξ)=0 κτλ..
Στο τέλος επιλέγει τα σημεία:
(1-ξ)χ1+ξ , (1-ξ)χ2.

Kαλημέρα!!


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης