Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)
Έστω συνάρτηση f : [0,1]->[0,1], μη σταθερή και συνεχής . Να αποδείξετε πως υπάρχουν χ1, χ2 στο [0,1]
(χ1 διαφορετικό απο το χ2), τέτοια ώστε:
(χ1 διαφορετικό απο το χ2), τέτοια ώστε:
Χρήστος Κυριαζής
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)
Xρήστο δεν έχω σχολική λύση και θα χαρώ να δω μία. Θα γράψω μία εξωσχολική.
Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι δε μπορεί να είναι
για όλα τα , διότι τότε η θα ήταν σταθερή (άσκηση του σχολικού βιβλίου)
Επομένως θα υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε
(1)
Επίσης υπάρχει και ένα ζεύγος αριθμών ώστε
(2)
για παράδειγμα το ζεύγος
Θεωρούμε τώρα το που είναι συνεκτικό υποσύνολο του και την συνεχή συνάρτηση με
Το είναι ένα συνεκτικό υποσύνολο του δηλαδή ένα διάστημα που περιέχει
(α) ένα θετικό αριθμό λόγω της (1) και
(β) ένα αριθμό μικρότερο ή ίσο του μηδενός λόγω της (2).
Επομένως θα περιέχει το 0 που σημαίνει ότι υπάρχουν ώστε δηλαδή
Μαυρογιάννης
Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι δε μπορεί να είναι
για όλα τα , διότι τότε η θα ήταν σταθερή (άσκηση του σχολικού βιβλίου)
Επομένως θα υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε
(1)
Επίσης υπάρχει και ένα ζεύγος αριθμών ώστε
(2)
για παράδειγμα το ζεύγος
Θεωρούμε τώρα το που είναι συνεκτικό υποσύνολο του και την συνεχή συνάρτηση με
Το είναι ένα συνεκτικό υποσύνολο του δηλαδή ένα διάστημα που περιέχει
(α) ένα θετικό αριθμό λόγω της (1) και
(β) ένα αριθμό μικρότερο ή ίσο του μηδενός λόγω της (2).
Επομένως θα περιέχει το 0 που σημαίνει ότι υπάρχουν ώστε δηλαδή
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)
Νίκο ευχαριστώ για τη λύση, θα προσπαθήσω κι εγώ για κάτι πιο ''σχολικό''.
Ή κάποιος άλλος συνάδελφος, αν θελήσει να ασχοληθεί!
Ή κάποιος άλλος συνάδελφος, αν θελήσει να ασχοληθεί!
Χρήστος Κυριαζής
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3049
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)
Μία ιδέα είναι νά αποδειχθεί ότι υπάρχει , τέτοιος ώστε , άν καί δέν τό έχω εξετάσει.nsmavrogiannis έγραψε:...Επομένως θα υπάρχει ένα ζεύγος αριθμών έτσι ώστε
(1)...
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ύπαρξη (ΟΧΙ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ)
H ιδέα του Γρηγόρη πηγαίνει προς την αντίστοιχη της λύσης που διαθέτω.
Θεωρεί τη συνάρτηση g με:
ακολουθώντας τους συμβολισμούς του Νίκου.
Eίναι καλά ορισμένη, γιατί (1-t)x1+t ,(1-t)x2 ανήκουν στο [0,1], g(0)>0, g(1)<1 bolzano g(ξ)=0 κτλ..
Στο τέλος επιλέγει τα σημεία:
(1-ξ)χ1+ξ , (1-ξ)χ2.
Kαλημέρα!!
Θεωρεί τη συνάρτηση g με:
ακολουθώντας τους συμβολισμούς του Νίκου.
Eίναι καλά ορισμένη, γιατί (1-t)x1+t ,(1-t)x2 ανήκουν στο [0,1], g(0)>0, g(1)<1 bolzano g(ξ)=0 κτλ..
Στο τέλος επιλέγει τα σημεία:
(1-ξ)χ1+ξ , (1-ξ)χ2.
Kαλημέρα!!
Χρήστος Κυριαζής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες