ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5496
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Ιαν 16, 2014 11:36 pm

Αγαπητοί συνάδελφοι και φίλοι !
Είναι πραγματικά μεγάλη κατάκτηση αυτό το forum και η μεγάλη οικογένεια τόσων αξιόλογων συναδέλφων που έχει σχηματιστεί.Νοιώθω ότι αν από τα 25 μου που ξεκίνησα στο φροντιστηριακό χώρο τα μαθήματα είχα αυτή την παρέα για να ανταλλάσσω απόψεις σε τόσο ωραία και σπουδαία συγχρόνως θέματα θα ήμουνα πολύ καλύτερος και ως μαθηματικός και ως δάσκαλος.
Κάθε φορά που προκύπτουν τέτοια θέματα για συζήτηση, δε σας κρύβω ότι προβληματίζομαι πάρα πολύ .Μερικές φορές μάλιστα ξενυχτάω ! Κατεβάζω πανεπιστημιακά συγγράμματα, διαβάζω για διανυσματικά πεδία και συνεχώς διαφορίσιμες καμπύλες, πολλαπλότητες , διπλά ολοκληρώματα και χίλια άλλα θέματα που συναντάω στο δρόμο. Μετά όμως από κάθε περιπλάνηση με επαναφέρει σε ηρεμία το σχολείο, ο μαθητής, οι εξετάσεις και η επικοινωνία με συναδέλφους , με εσάς δηλαδή. Επειδή λοιπόν το Σχολείο είναι το σημείο αναφοράς μας, όλα φαίνεται να γίνονται απλά και διαυγή. Αλλά για να γίνει αυτό πρέπει να έχουμε στο νου μας τα εξής :

- Ο μαθητής είναι εξοικειωμένος με το επίπεδο, το χώρο και την εποπτεία. Ακόμα και στην Ανάλυση(στοιχεία συναρτήσεων) όλων των τάξεων του Λυκείου , το καρτεσιανό επίπεδο, η γραφική παράσταση, το εμβαδόν, η συμμετρία κλπ είναι γεωμετρικές έννοιες και τελικά εκεί γύρω περιστρέφονται όλα ! Μήπως και η παράγωγος τελικά δεν ερμηνεύεται ως κλίση ή το ολοκλήρωμα ως εμβαδόν κλπ ; Εύλογα προκύπτει το εξής ερώτημα :

Μπορούμε από το μαθητή να ζητήσουμε ή να τον πείσουμε ότι όλα ή μερικά από αυτά είναι μια πλάνη ή η μισή αλήθεια, ότι δεν μπορούμε πάντα να πιστεύουμε στα μάτια μας και μόνο ό, τι προκύπτει από την καθαρή χρήση ορισμών και θεωρημάτων είναι αληθές ;

Πώς να τον πείσουμε για κάτι τέτοιο, όταν στο ίδιο το σχολικό - πολύ σωστά για μένα - κυριαρχεί ακόμα και στην ανάλυση της Γ' Λυκείου η εποπτεία ; Όταν ο μαθητής ξεφυλλίζοντας το βιβλίο βλέπει γεωμετρική απόδειξη του ορίου του \frac {sin x} {x} για x\rightarrow 0, πώς θα δεχθεί ότι μερικές φορές τη γεωμετρική προσέγγιση πρέπει να την απορρίψει ;
Όταν μαθαίνει για παράλληλες μετατοπίσεις των γραφικών παραστάσεων ,για συμμετρία ως προς τους άξονες , πως τα συμμετρικά σχήματα είναι ίσα και ο ίδιος ''βλέπει '' ότι οι γεωμετρικές ιδιότητες του ενός μεταφέρονται και στο συμμετρικό σχήμα, πώς να του αποκλείσουμε εμείς τη δυνατότητα να συμπεράνει ότι η συμμετρία, η μεταφορά , η στροφή , αλλά ακόμα και η ομοιθεσία που δεν τη γνωρίζει καλά, μπορεί να μη διατηρούν κάποιες γεωμετρικές ή αναλυτικές ιδιότητες ;

Φυσικά, τα ερωτήματα αυτά είναι ακριβώς αυτά που οριοθετούν το καλό μάθημα, το καλό σχολείο , το καλό μάθημα . Από τη μια μεριά ο καθηγητής θα αναφέρει ποιες ιδιότητες διατηρούνται, θα τονίσει όμως ότι πιο αυστηρές-σίγουρες δηλαδή - αποδείξεις γίνονται με την ανάλυση που είναι κατάκτηση νεότερη της γεωμετρίας και που μας οδηγεί στα ίδια πολλές φορές συμπεράσματα με πιο σίγουρο τρόπο. Ότι ακόμα και σε μερικά προφανή πράγματα οι αποδείξεις είναι δύσκολες, ότι συχνά χρειαζόμαστε ακόμα και μαθηματικά τρίτου έτους ή μεταπτυχιακού επιπέδου για να τις κάνουμε . Κι αν μας ρωτήσουν '' γιατί να τις κάνουμ αυτές τις αποδείξεις ; '' , εκεί ο δάσκαλος αρπάζει τη χρυσή ευκαιρία να αναφέρει τα παραδείγματα από την ανάλυση της γ΄λυκείου που η διαίσθηση(και όχι η εποπτεία) μας ξεγελάει. Και δεν εννοώ τίποτα άλλο παρά τα δύο καλύτερα παραδείγματα, ένα με το ακρότατο σε άκρο διαστήματος για συνεχή συνάρτηση και το άλλο με την αλλαγή μονοτονίας γύρω από θέση τοπικού ακροτάτου .

Φίλοι μου, εκεί νομίζω ότι είναι η ουσία της σωστής διδασκαλίας.Όμως ο θεσμός των εξετάσεων και η τρομακτική έως διαστροφική μορφή που έχουν πάρει τα θέματα , αποτρέπουν από το διδάσκοντα να αφιερώσει παραπάνω από δύο ώρες όλο το χρόνο για τέτοια σοβαρά θέματα. Κι αν καμιά φορά μερικοί το επιχειρούμε, οι μαθητές ,πλην εξαιρέσεων , αυτό το θεωρούν όχι μάθημα αλλά χάσιμο χρόνου, διότι τελικά η χρησιμοθηρία και ασκησιοθηρία είναι το μόνο ζητούμενο από το μαθητή. Δεν τον αδικούμε ωστόσο , διότι αυτός κυνηγάει με το τουφέκι την άσκηση και το sos θέμα για τις εξετάσεις , διότι μόνο έτσι θα πιάσει τη σχολή που θέλει με τις 19000 μονάδες. Από την άλλη όμως κι εμείς , αν δεν κάνουμε αυτές τις αναφορές , αισθανόμαστε ότι τον εξαπατούμε, διότι θα τελειώσει το Λύκειο και δεν θα έχει ακούσει λίγα έστω στοιχεία για την ιστορία των μαθηματικών, πώς ανακαλύφθηκε η παράγωγος και το ολοκλήρωμα, τι είναι γεωμετρία και τι ανάλυση , πώς ο τύπος για το εμβαδόν κύκλου μπορεί να υπολογιστεί και με την ανάλυση με ένα απλό ολοκλήρωμα και πώς τελικά ό,τι είναι σωστό για τη Γεωμετρία είναι και για την Ανάλυση και αντιστρόφως .

Δυστυχώς και μεις παρασυρόμαστε από την αγωνία τι θα πέσει στις εξετάσεις, πώς θα το γράψει ο μαθητής μας και πώς θα το βαθμολογήσουμε ! Πρόκειται για αναίρεση του βασικού μας ρόλου που είναι να διδάξουμε τα μαθηματικά μέσα από προβληματισμό που ξεκινάει από την ιστορική ρίζα των εννοιών, που συνεχίζεται με την ανάπτυξη των τεχνικών λεπτομερειών(αυτό που τα παιδιά λένε μαθηματικά) και ολοκληρώνεται με τις εφαρμογές, αυτές δηλαδή που οι μαθητές σπάνια βλέπουν και ως εκ τούτου η διδασκαλίας μένει ελλειπής !

Σήμερα ήταν σε ένα τμήμα θετικής στη Β' τάξη να κάνω το πρώτο μάθημα στον κύκλο. Λίγα παιδιά, καλοί μαθητές , με έπιασε και μένα λίγο η ποιητική διάθεση.

- Πού έβλεπε και πώς ανακάλυψε ο πρωτόγονος άνθρωπος τον κύκλο , αφού δεν είχε ούτε κάρα, ούτε ρόδες αυτοκινήτων ; Τα παιδιά έψαχναν για παραδείγματα στη γη.
- Μα ο δίσκος τους ήλιου που τον θαύμαζε ο άνθρωπος στο ηλιοβασίλεμα όπως και ο δίσκος του ολόγιομου φεγγαριού δεν είναι τα πιο απτά παραδείγματα ; Ο κύκλος είναι για τον άνθρωπο τέλειο σχήμα, πιο ....τέλειο από το τετράγωνο . Υπήρχε περίπτωση να μην κυριαρχήσει στα μαθηματικά ; Πώς θα βρούμε το μήκος του, πώς το εμβαδόν του ;

Και εκεί, μέσα από κουβεντούλα φτάσαμε στο π, στην τιμή που 3 που αναφέρει η Αγία Γραφή, στην τιμή (\frac {4}{3})^4 που είχαν οι Αιγύπτιοι 1500 χρόνια πριν τη γέννηση του Χριστού(στην προσέγγιση αυτή κάναμε και την απόδειξη από τον τρόπο περιγραφής εύρεσης του εμβαδού που δίνεται στον πάπυρο του Rhind ), στην προσέγγιση \frac {22}{7} που έκανε ο μέγιστος των Ελλήνων μαθηματικών της αρχαιότητας Αρχιμήδης αλλά και στην καταπληκτική τιμή \frac {376,992}{120}=3,1416 που βρήκε ο Πτολεμαίος, αφού κατάφερε με μεγάλη ακρίβεια να βρει το ημίτονο της μίας μοίρας και έτσι να βρει την περίμετρο κανονικού 360- γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο. Στη συνέχεια είπαμε για το πώς με την ανακάλυψη της ανάλυσης και τη βοήθεια των σειρών πετύχαμε προσεγίσεις μέχρι εκαντοντάδες στην αρχή και χιλιάδες αργότερα δεκαδικών ψηφίων ή εκατομμυρίων με τους υπολογιστές τώρα, τέθηκε από τα παιδιά το ερώτημα μήπως η αναζήτηση τόσων ψηφίων είναι χάσιμο χρόνου και τι νόημα έχει(ωραίες ερωτήσεις αυτές και τις εκμεταλλεύομαι γιατί έχω έτοιμες απαντήσεις) , αν ο π είναι άρρητος κππ. Δεχόμουν βομβαρδισμό ερωτήσεων, τα παιδιά ενθουσιάζονται με τέτοια ζητήματα .

Μόνη παραφωνία στην όλη προσπάθεια είναι πως τις ερωτήσεις τις μονοπωλούσαν τα αγόρια, ενώ τις δεσποινίδες κάποια στιγμή διαπίστωσα ότι μάλλον δεν τις ενδιέφερε το ζήτημα. Ίσως ήταν λάθος μου που μέσα σε όλες τις προσπάθειες δεν ενέπλεξα με κάποιο τρόπο και το ρόλο λίγων αλλά καλών γυναικών μαθηματικών . Όλα πρέπει τελικά να τα προσέχουμε !

- Να προσθέσω κάτι στη γεωμετρία και στην γεωμετρική εποπτεία .

Ακόμα και στις πανελλήνιες έχει τεθεί θέμα στην εύρεση εμβαδού χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης της αντίστροφης συνάρτησης και του άξονα x'x.Μα και εδώ δεν πρόκειται για έμμεση συνεπαγωγή της συνέχειας της αντίστροφης λόγω της συμμετρίας ; Με άλλα λόγια ποιος εξασφάλιζε σε αυτό το ερώτημα ότι ορίζεται ένα τέτοιο εμβαδόν ; Και κάτι πιο σημαντικό : Που έχει αποδειχθεί ή έστω αναφερθεί ότι το συμμετρικό του ζητούμενου χωρίου ως προς τη διχοτόμο είναι χωρίο με το ίδιο εμβαδόν( ίσο ή ίσεμβαδικό χωρίο ; ).
Βλέπουμε λοιπόν ότι από αυτή την αντίληψη(τη γεωμετρική έστω ερμηνεία ορισμένων εννοιών της ανάλυσης αλλά και το αντίστροφο-αυτό είναι που μας ενδιαφερει - δεν έχει εξαιρεθεί κανένας. Ούτε είδα τότε που τέθηκε το θέμα να εγερθεί μεταξύ των μαθηματικών μείζον ζήτημα για το ''εκτός ύλης '' του ερωτήματος.Προφανώς για μένα καλώς δεν τέθηκε. Κι αυτό γιατί και στο βιβλίο αλλά και σε όλα τα σχολικά μαθηματικά γεωμετρία και ανάλυση πάνε δίπλα δίπλα και συχνά το ένα βοηθάει το άλλο.
( Για να μην το ξεχάσω : ένα ακόμα συμπέρασμα που συγκρούεται τελείως με τη διαίσθηση -όχι με την γεωμετρία ή την εποπτεία - έιναι η ύπαρξη συναρτήσεων που είναι παντού συνεχείς και πουθενά παραγωγίσιμες . Εδώ είναι που πραγματικά ....τρελαίνεσαι ! :). Είναι περιττό, αλλά να το πω : συμφωνώ απόλυτα με το Νίκο Μαυρογιάννη ότι η πιο αυστηρή απόδειξη σε τέτοια θέματα είναι με χρήση ανάλυσης, διότι τελικά όλα ανάγονται στο αριθμιτικό σύστημα και στα θεμέλια των μαθηματικών, στα σύνολα δηλαδή. Το μόνο που προσπαθώ να προσθέσω είναι ότι οι προσπάθειες μαθητών που χρησιμοποιούν ορθά τις γεωμετρικές ερμηνείες, έστω και με κάποια δόση υπερβολής, πρέπει να χαίρουν θετικής αποδοχής και να ανταμοίβονται σε όλα τα επίπεδα, είτε στην τάξη είτε σε εξετάσεις.)

Συμπέρασμα

Εϊναι αναπόφευκτο μέσα στα σχολικά μαθηματικά να μην κυριαρχήσει τόσο η γεωμετρία και η εποπτεία. Από κει και πέρα, όπως τόνισαν και άλλοι εξαίρετοι συνάδελφοι, θα προσπαθήσουμε χωρίς να κόψουμε τα φτερά των μαθητών, να περιγράψουμε την αξία της απόδειξης που γίνεται με πια γερά εργαλεία που σε πολλές περιπτώσεις τα προσφέρει ο Λογισμός, η παράγωγος δηλαδή και το Ολοκλήρωμα.'Οσο για τις εξετάσεις, μάλλον μεγαλύτερη αξία δίνουμε από τη δέουσα και καταστρέφουμε την ομορφιά των μαθηματικών στραγγαλίζοντας κάθε άλλη δυνατότητα που μας προσφέρουν για ψυχαγωγία και μόρφωση.
Παραμένει ως ένα βασικό ερώτημα αν θα καταφέρουμε ποτέ να μετριάσουμε στο Λύκειο αυτό τον αρνητικό παράγοντα και να πετύχουμε την πολυπόθητη ισορροπία.

Ευχαριστώ για την υπομονή - Μπάμπης

* Πρόσθεσα την τελευταία παράγραφο με το ερώτημα στις εξετάσεις


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες