Τύπος συνάρτησης

orestisgotsis · #1

Περιττό

Tolaso J Kos · #2

Έχουμε καμία αρχική συνθήκη;

orestisgotsis · #3

Περιττό

mathxl · #4

$f''\left( x \right) = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} - {e^{x + f\left( x \right)}} \Leftrightarrow$

$f''\left( x \right){e^{ - f\left( x \right)}} - {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2}{e^{ - f\left( x \right)}} = - {e^x} \Leftrightarrow$

${\left( {f'\left( x \right){e^{ - f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( { - {e^x}} \right)^\prime } \Leftrightarrow$

$f'\left( x \right){e^{ - f\left( x \right)}} = - {e^x} + {c_1} \Leftrightarrow$

${\left( { - {e^{ - f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( { - {e^x} + {c_1}x} \right)^\prime } \Leftrightarrow$

$- {e^{ - f\left( x \right)}} = - {e^x} + {c_1}x + {c_2} \Leftrightarrow$

${e^{ - f\left( x \right)}} = {e^x} - {c_1}x - {c_2} \Leftrightarrow$

$- f\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} - {c_1}x - {c_2}} \right) \Leftrightarrow$

$f\left( x \right) = - \ln \left( {{e^x} - {c_1}x - {c_2}} \right)$
Για να είναι καλώς ορισμένη στο

αρκεί πχ να επιλέξουμε αρχικές συνθήκες ώστε ${c_1} = 1,{c_2} < 1$

Από τι βλέπω έχασα ένα μείον στον εκθέτη του δευτέρου μέλους, ωστόσο η αντιμετώπιση παραμένει ίδια. Ευχαριστώ τον Ορέστη που το πρόσεξε και με ειδοποίησε με πμ

gavrilos · #5

Πολλαπλασιάζουμε με $\displaystyle{e^{-f(x)}$ και η σχέση γίνεται $\displaystyle{e^{-f(x)}\cdot f''(x)=e^{-f(x)}(-f'(x))^{2}-e^{-x}}$ .

ή ισοδύναμα $\displaystyle{e^{-f(x)}\cdot f''(x)+e^{-f(x)}(-f(x))'\cdot f'(x)=-e^{-x}\Leftrightarrow \left(e^{-f(x)}\cdot f'(x)\right)'=\left(e^{-x}+c_{1}\right)'}$ .

Άρα $\displaystyle{e^{-f(x)}\cdot f'(x)=e^{-x}+c_{1}\Leftrightarrow -e^{-f(x)}\cdot f'(x)=-e^{-x}-c_{1}}$ .

Επομένως $\displaystyle{\left(e^{-f(x)}\right)'=\left(e^{-x}-c_{1}x+c_{2}\right)'}$ κι έτσι $\displaystyle{e^{-f(x)}=e^{-x}-c_{1}x+c_{2}}$ άρα τελικά $\displaystyle{\boxed{f(x)=-\ln {\left(e^{-x}-c_{1}x+c_{2}\right)}}$ .

Edit:Έχασα για λίγο.

Το αφήνω επειδή είναι η πρώτη διαφορική που λύνω στο

maiksoul · #6

Είναι $\displaystyle{$ f ''(x) = {(f '(x))^2} - {e^{ - x + f(x)}} (1)

x \in R

[f '(x)]'{e^{ - f(x)}} + f '(x)[{e^{ - f(x)}}]' = ({e^{ - x}}) ' άρα

[f '(x){e^{ - f(x)}}] ' = ({e^{ - x}}) ' Οπότε

f '(x){e^{ - f(x)}} = {e^{ - x}} + c

[ - {e^{ - f(x)}}] ' = ( - {e^{ - x}} + cx) ' άρα

(2)}

\displaystyle{{e^{ - f(x)}} = {e^{ - x}} - cx + a

c ,a \in {\bf{R}} ώστε η

(2)

\forall x \in {\bf{R}} Έστω

{\rm{g(x) = }}{{\rm{e}}^{{\rm{ - x}}}}{\rm{ - cx + a}}{\rm{, x}} \in {\bf{R}} πρέπει

{\rm{g(x) > 0 }}{\rm{, }}\forall x \in {\bf{R}} , αρκεί επομένως αν έχει ελάχιστο αυτό να είναι θετικό.
}

Αν

τότε η

είναι $\searrow$ και στο $+ \infty$ έχει όριο $\displaystyle{το$ - \infty άτοπο!
Αν

c = 0

g(x) = {e^{ - x}} + a που είναι

\searrow {\bf{R}} και έχει σύνολο τιμών

{\rm{(a }}{\rm{, + }}\infty ) επομένως αρκεί τότε

{\rm{a > 0}}

{\rm{c < 0}} τότε η

{\rm{g}}

{\rm{g( - }}\ln {\rm{( - c)) = - c + c}}\ln {\rm{( - c) + a}} ο οποίος θέλουμε να είναι θετικός. Θεωρούμε την

{\rm{h(c) = - c + c}}\ln {\rm{( - c) + a}}

{\rm{c}} \in {\rm{( - }}\infty , 0) ,είναι

h '(c) = \ln ( - c) ,h '(c) = 0 \leftrightarrow c = - 1 τελικά

h(c) \le 1 + a \forall c \in ( - \infty ,0) , ενώ από την μελέτη του συνόλου τιμών της, είναι

h(c) > a

c \in ( - 1, 0) και

c \in ( - e, - 1) .Έχουμε τις(πολλές περιπτώσεις):αν

a \le - 1 ,τότε

{\rm{h(c) = 1 + a}} \le 0} $\forall {\rm{c}}$ ΑΤΟΠΟ
αν $- 1{\rm{ < a}} \le 0$ τότε υπάρχουν

ώστε

αν

τότε τα $c \in ( - e, 0)$ τουλάχιστον , μας δίνουν h(c) > 0

Επομένως ,συνολικά, αν( $\displaystyle{c = 0$ και a > 0

) ή (

και

) γίνεται να συμβαίνει η (2)

άρα τότε παίρνουμε $f(x) = - \ln ({e^{ - x}} - cx + a)$ , $x \in {\bf{R}}$ , επομένως έχουμε άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν το ζητούμενο. Ωραία άσκηση αλλά απαιτητική διαιρεύνηση!

Τύπος συνάρτησης

Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση