Μονοτονία συνάρτησης

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2330
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Μονοτονία συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Παρ Φεβ 13, 2015 6:38 pm

Χαιρετίζω την παρέα. Mε αφορμή την σχολική άσκηση:

Να βρείτε τις τιμές του \alpha \in {{\mathbb{R}}^{*}} για τις οποίες η συνάρτηση f(x)=\alpha {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+1 είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}
Βρήκα την εξής λύση της

{f}'(x)=3\alpha {{x}^{2}}+6x+1 που είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο με διακρίνουσα 36-12\alpha
Επειδή αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta, τότε {f}'(x)\ge 0 για κάθε x εσωτερικό σημείο του διαστήματος \Delta και {f}'(x)=0 σε μεμονωμένα σημεία του διαστήματος, τότε

θα πρέπει η διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου να είναι μικρότερη ή ίση του μηδενός άρα 36-12\alpha \le 0\Leftrightarrow \alpha \ge 3

Θα ήθελα να την σχολιάζατε και να την βαθμολογούσατε.


Καρδαμίτσης Σπύρος
abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Παρ Φεβ 13, 2015 7:02 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:... αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta, τότε {f}'(x)\ge 0 για κάθε x εσωτερικό σημείο του διαστήματος \Delta και {f}'(x)=0 σε μεμονωμένα σημεία του διαστήματος....
Αυτό που γράφει ο μαθητής, είναι μία πρόταση, (ελλιπής), η οποία δεν υπάρχει στην ύλη την οποία εξετάζεται και συνεπώς θα πρέπει να την δικαιολογήσει.
Το αποτέλεσμα του συλλογισμού του είναι σωστό.
Η επίλυση της άσκησης απαιτεί αρκετή "δουλειά" αφού θα πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο της διακρίνουσας και της παραγώγου.
Βαθμολογία: 4/10


alexandrosvets
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 1:16 pm
Τοποθεσία: Νέα Αγχίαλος,Βόλος

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alexandrosvets » Παρ Φεβ 13, 2015 7:06 pm

abgd έγραψε:
Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:... αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta, τότε {f}'(x)\ge 0 για κάθε x εσωτερικό σημείο του διαστήματος \Delta και {f}'(x)=0 σε μεμονωμένα σημεία του διαστήματος....
Αυτό που γράφει ο μαθητής, είναι μία πρόταση, (ελλιπής), η οποία δεν υπάρχει στην ύλη την οποία εξετάζεται και συνεπώς θα πρέπει να την δικαιολογήσει.
Το αποτέλεσμα του συλλογισμού του είναι σωστό.
Η επίλυση της άσκησης απαιτεί αρκετή "δουλειά" αφού θα πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο της διακρίνουσας και της παραγώγου.
Βαθμολογία: 4/10
Καλησπέρα,
Αν είναι δυνατόν, μπορείς να παραθέσεις αναλυτικά τη λύση;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.


Ο ουρανός είναι ο καμβάς
Τα σύννεφα είναι τα σχέδια
Και ο ήλιος είναι ο ζωγράφος
abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Παρ Φεβ 13, 2015 7:29 pm

alexandrosvets έγραψε:
abgd έγραψε:
Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:... αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta, τότε {f}'(x)\ge 0 για κάθε x εσωτερικό σημείο του διαστήματος \Delta και {f}'(x)=0 σε μεμονωμένα σημεία του διαστήματος....
Αυτό που γράφει ο μαθητής, είναι μία πρόταση, (ελλιπής), η οποία δεν υπάρχει στην ύλη την οποία εξετάζεται και συνεπώς θα πρέπει να την δικαιολογήσει.
Το αποτέλεσμα του συλλογισμού του είναι σωστό.
Η επίλυση της άσκησης απαιτεί αρκετή "δουλειά" αφού θα πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο της διακρίνουσας και της παραγώγου.
Βαθμολογία: 4/10
Καλησπέρα,
Αν είναι δυνατόν, μπορείς να παραθέσεις αναλυτικά τη λύση;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Γιατί όχι;

Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle{f^{\prime}(x)=3ax^2+6x+1, \ \ x\in \mathbb{R}}
Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: \displaystyle{\Delta=36-12a}
  • Αν \displaystyle{a<3} τότε η διακρίνουσα είναι θετική και συνεπώς η \displaystyle{f^{\prime}} έχει δύο άνισες ρίζες στις οποίες αλλάζει πρόσημο οπότε η \displaystyle{f} θα αλλάζει μονοτονία.
    Αν \displaystyle{a>3} τότε η διακρίνουσα είναι αρνητική και \displaystyle{3a>0} οπότε η \displaystyle{f^{\prime}} είναι θετική στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οπότε η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα.
    Αν \displaystyle{a=3} τότε \displaystyle{f^{\prime}(x)=9x^2+6x+1=(3χ+1)^2>0 , \ \  \forall x\in \left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(-\frac{1}{3},+\infty\right)}. Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{-\frac{1}{3}} οπότε η \displaystyle{f} θα είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}.
Τελικά
για \displaystyle{a\geq 3} η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6881
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Φεβ 14, 2015 11:51 am

abgd έγραψε: Γιατί όχι;

Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle{f^{\prime}(x)=3ax^2+6x+1, \ \ x\in \mathbb{R}}
Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: \displaystyle{\Delta=36-12a}
  • Αν \displaystyle{a<3} τότε η διακρίνουσα είναι θετική και συνεπώς η \displaystyle{f^{\prime}} έχει δύο άνισες ρίζες στις οποίες αλλάζει πρόσημο οπότε η \displaystyle{f} θα αλλάζει μονοτονία.
    Αν \displaystyle{a>3} τότε η διακρίνουσα είναι αρνητική και \displaystyle{3a>0} οπότε η \displaystyle{f^{\prime}} είναι θετική στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οπότε η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα.
    Αν \displaystyle{a=3} τότε \displaystyle{f^{\prime}(x)=9x^2+6x+1=(3χ+1)^2>0 , \ \  \forall x\in \left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)\cup \left(-\frac{1}{3},+\infty\right)}. Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{-\frac{1}{3}} οπότε η \displaystyle{f} θα είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}.
Τελικά
για \displaystyle{a\geq 3} η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}.
Συμφωνώ με την προσέγγιση του μέλους abgd χωρίς να κρίνω αναγκαία την περίπτωση όπου η διακρίνουσα είναι θετική.

Διαφωνώ με το ότι δεν αναφέρεται ως πρόταση στο σχολικό βιβλίο αφού αναφέρεται ως σχόλιο, χωρίς βέβαια να μιλάει εκεί για μεμονωμένα σημεία.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4646
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Φεβ 14, 2015 1:00 pm

Ο μαθητής έγραψε:
Επειδή αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta, τότε {f}'(x)\ge 0 για κάθε x εσωτερικό σημείο του διαστήματος \Delta και {f}'(x)=0 σε μεμονωμένα σημεία του διαστήματος, τότε ...
Καλημέρα σε όλους!

Θα συμφωνήσω με τους αγαπητούς φίλους ότι η πρόταση αυτή πρέπει να δικαολογηθεί (παρότι "φαίνεται" προφανής για δευτεροβάθμιες συναρτήσεις).

Στο σχόλιο της σελίδας 254 αναφέρει: "Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο \Delta, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του \Delta".

Αυτή η διατύπωση δεν είναι ισοδύναμη με τη διατύπωση του μαθητή, άρα η πρόταση του μαθητή χρειάζεται απόδειξη. Προτιμητέα η μελέτη κατά περίπτωση (η λύση του adbg).


abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Σάβ Φεβ 14, 2015 2:25 pm

chris_gatos έγραψε:Συμφωνώ με την προσέγγιση του μέλους abgd χωρίς να κρίνω αναγκαία την περίπτωση όπου η διακρίνουσα είναι θετική.
Είναι απαραίτητο να γραψουμε τι γίνεται για κάθε τιμή της παραμέτρου.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6881
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Φεβ 14, 2015 2:33 pm

Η γνώμη μου είναι πάντα σύμφωνα με το υπάρχον σχόλιο του βιβλίου, όπως αναφέρεται παραπάνω από το Γιώργο και συμπληρώνω εγώ
το "ισχύει όμως f'(x)\ge 0" πως μιας και πρέπει να ισχύει αυτό για δευτεροβάθμιο πολυώνυμο είναι αρκετό να διερευνήσει τις περιπτώσεις εκείνες που δεν υπάρχει εναλλαγή προσήμου αυτού. Επομένως είναι αρκετό να ασχοληθεί με τις \Delta<0 και \Delta=0. Το άλλο απλά περιττεύει.


Χρήστος Κυριαζής
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5434
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Φεβ 14, 2015 3:21 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Χαιρετίζω την παρέα. Mε αφορμή την σχολική άσκηση:

Να βρείτε τις τιμές του \alpha \in {{\mathbb{R}}^{*}} για τις οποίες η συνάρτηση f(x)=\alpha {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+x+1 είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}
Βρήκα την εξής λύση της

{f}'(x)=3\alpha {{x}^{2}}+6x+1 που είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο με διακρίνουσα 36-12\alpha
Επειδή αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta, τότε {f}'(x)\ge 0 για κάθε x εσωτερικό σημείο του διαστήματος \Delta και {f}'(x)=0 σε μεμονωμένα σημεία του διαστήματος, τότε

θα πρέπει η διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου να είναι μικρότερη ή ίση του μηδενός άρα 36-12\alpha \le 0\Leftrightarrow \alpha \ge 3

Θα ήθελα να την σχολιάζατε και να την βαθμολογούσατε.
Δεν δίνω τόση σημασία στο γεγονός ότι ο μαθητής δεν αποδεικνύει την πρόταση (ο καθηγητής του του την είπε και είναι πασίγνωστη πρόταση , δεν την έβγαλε αυθαίρετα από το μυαλό του επειδή έτσι τον βόλευε) , όσο στο γεγονός ότι η λύση πάσχει στο λογικό της μέρος.

Ο μαθητής είπε ''πρέπει '', αλλά για την εύρεση παραμέτρων , αν δεν έχουμε αναγκαίες και ικανές συνθήκες, τότε χρειάζεται πλήρης διερεύνηση, όπως έκανε ο συνάδελφος abgd.Το πρέπει είναι η ''μισή '' λύση.
Μπορεί η βαθμολογία 4/10 να είναι αυστηρή, αλλά μέχρι το 6-7/10 , ανάλογα το γραπτό θα τα έδινα.

Μπάμπης


abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Σάβ Φεβ 14, 2015 7:29 pm

Για να δείξω την αναγκαιότητα της εξέτασης περιπτώσεων για την παράμετρο....

Τι θα έκανε ο μαθητής, (εκτός απ' το σταυρό του :) ), αν ζητούσαμε τις τιμές του \displaystyle {a} για τις οποίες η συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 &x^3+2x^2+ax, \ \ x\leq -1 \\  
 &ax+1, \ \ \ x>-1 
\end{matrix}\right.}

είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}} ;


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6881
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Φεβ 14, 2015 7:55 pm

abgd έγραψε:Για να δείξω την αναγκαιότητα της εξέτασης περιπτώσεων για την παράμετρο....

Τι θα έκανε ο μαθητής, (εκτός απ' το σταυρό του :) ), αν ζητούσαμε τις τιμές του \displaystyle {a} για τις οποίες η συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 &x^3+2x^2+ax, \ \ x\leq -1 \\  
 &ax+1, \ \ \ x>-1 
\end{matrix}\right.}

είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}} ;
Δεν αντιλέγω αλλά μιλάμε για τη συγκεκριμένη άσκηση, με τη συγκεκριμένη συνάρτηση. Πιστεύω πως το να ζητάμε να εξετάσει ο μαθητής
την περίπτωση \Delta >0 είναι περιττό αφού γνωρίζει θεωρία τριωνύμου από την πρώτη λυκείου και επιπλέον γνωρίζει και τι ψάχνει:
μια συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα για κάθε x \in \mathbb{R}, η οποία έχει παράγωγο ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού.


Χρήστος Κυριαζής
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5434
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Φεβ 15, 2015 2:02 am

Αν δεχτούμε ότι η πρώτη σκέψη του μαθητή '' πρέπει f'(x)\geq 0 '' είναι αποδεκτή(εγώ τη δέχομαι), είναι φανερό ότι στη συγκεκριμένη άσκηση η περίπτωση D>0 μπορεί ίσως και να μην αναφερθεί, χωρίς αυτό να είναι η καλύτερη επιλογή.

Το σχόλιο που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμα αφορούσε λύση που ξεκινάει από το ....μηδέν.

Μπάμπης


abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Κυρ Φεβ 15, 2015 9:51 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Αν δεχτούμε ότι η πρώτη σκέψη του μαθητή '' πρέπει f'(x)\geq 0 '' είναι αποδεκτή(εγώ τη δέχομαι), είναι φανερό ότι στη συγκεκριμένη άσκηση η περίπτωση D>0 μπορεί ίσως και να μην αναφερθεί, χωρίς αυτό να είναι η καλύτερη επιλογή.

Το σχόλιο που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμα αφορούσε λύση που ξεκινάει από το ....μηδέν.

Μπάμπης
Δεν έχω κάποια αντίρρηση, πως όταν η διακρίνουσα είναι θετική είναι προφανές ή πασίγνωστο ότι το τριώνυμο αλλάζει πρόσημο, άρα δεν μπορούμε να έχουμε γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Όμως θεωρώ απαραίτητο σε μια λύση, την οποία αξιολογούμε και ως προς την πληρότητά της, να αναφερθεί και αυτή η περίπτωση.
Ακόμη,
αν πούμε στο μαθητή ότι
"αρκεί η \displaystyle{f^{\prime}} να είναι μη αρνητική, οπότε, επειδή αυτή είναι τριώνυμο, αρκεί \displaystyle{\Delta \leq 0"
πιθανότατα θα τον οδηγήσουμε να διαπραγματευτεί λανθασμένα το παράδειγμα με τη συνάρτηση
\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 &x^3+2x^2+ax, \ \ x\leq -1 \\  
 &ax+1, \ \ \ x>-1 
\end{matrix}\right.}
στην οποία η παράγωγος στο πρώτο σκέλος είναι τριώνυμο αλλά, είναι θετική, (η παράγωγος), και στην περίπτωση που η διακρίνουσα είναι θετική, για τις τιμές \displaystyle{1\leq a<\frac{4}{3}}.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5434
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Φεβ 15, 2015 10:07 am

Γενικό Σχόλιο :

Σε όλα τα προβλήματα με εύρεση παραμέτρων , όταν απουσιάζουν ικανές και αναγκαίες συνθήκες, η ασφαλέστερη πορεία είναι αυτή που ακολούθησε ο έμπειρος συνάδελφος abgd,

κάνουμε δηλαδή ολοκληρωμένη διερεύνηση. Αν κάποιο επιμέρους στάδιο μπορεί να παραληφθεί λόγω ιδιαίτερων καταστάσεων(όπως πχ εδώ που παρουσιάστηκε τριώνυμο), κανείς δεν μας το εμποδίζει.

Δεν νομίζω να πρόσθεσα κάτι νέο, το λέω μόνο για την περίπτωση που μας βλέπουν μαθητές και θέλουν να ξέρουν κάτι γενικό, τι δηλαδή πρέπει να προσέχουν .

όπως πχ ότι όταν οι συνθήκες που χρησιμοποιούμε είναι αναγκαίες και όχι ικανές, τότε στο τέλος πρέπει να γίνει επαλήθευση.

Να γιατί στο συγκεκριμένο θέμα η ... μέθοδος abgd με την βήμα -βήμα πορεία είναι η πιο ασφαλής , χωρίς να διατείνομαι πως οι άλλες προσεγγίσεις στερούνται της

μαθηματικής τους αυτοτέλειας, αξίας και σημασίας.

Μπ


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2837
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Φεβ 17, 2015 8:53 am

Καλημέρα σε όλους!!!

Πάγια άποψή μου είναι ότι για οποιαδήποτε πρόταση εκτός σχολικού βιβλίου απαιτείται απόδειξη για να χρησιμοποιηθεί.

Σε αντίθετη περίπτωση (χρήση χωρίς απόδειξη) θα έχει βαθμολογικές επιπτώσεις.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση θα πρότεινα 5/10.

Η μέθοδος που προτείνει το μέλος μας abgd με βρίσκει απολύτως σύμφωνο.

Θεωρώ επίσης ότι χρειάζεται και η περίπτωση \Delta > 0.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Τρί Φεβ 17, 2015 10:54 am

abgd έγραψε:Για να δείξω την αναγκαιότητα της εξέτασης περιπτώσεων για την παράμετρο....

Τι θα έκανε ο μαθητής, (εκτός απ' το σταυρό του :) ), αν ζητούσαμε τις τιμές του \displaystyle {a} για τις οποίες η συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 &x^3+2x^2+ax, \ \ x\leq -1 \\  
 &ax+1, \ \ \ x>-1 
\end{matrix}\right.}

είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}} ;

Καλημέρα.
Συγγνώμη αλλά δεν καταλαβαίνω τη σχέση του συγκεκριμένου παραδείγματος με το αρχικό παράδειγμα που ξεκίνησε το θέμα. Αν είναι εύκολο στο συνάδελφο να παραθέσει μια λύση για τη συνάρτηση αυτή.


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τρί Φεβ 17, 2015 4:18 pm

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε:
abgd έγραψε:Για να δείξω την αναγκαιότητα της εξέτασης περιπτώσεων για την παράμετρο....

Τι θα έκανε ο μαθητής, (εκτός απ' το σταυρό του :) ), αν ζητούσαμε τις τιμές του \displaystyle {a} για τις οποίες η συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 &x^3+2x^2+ax, \ \ x\leq -1 \\  
 &ax+1, \ \ \ x>-1 
\end{matrix}\right.}

είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}} ;

Καλημέρα.
Συγγνώμη αλλά δεν καταλαβαίνω τη σχέση του συγκεκριμένου παραδείγματος με το αρχικό παράδειγμα που ξεκίνησε το θέμα. Αν είναι εύκολο στο συνάδελφο να παραθέσει μια λύση για τη συνάρτηση αυτή.
Εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο \displaystyle{-1} - είναι εύκολο. Εξηγούμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής.
Βρίσκουμε την παράγωγο της \displaystyle{f}
\displaystyle{f^{\prime}(x)=\left\{\begin{matrix} 
 &3x^2+4x+a, \ \ x< -1 \\  
 &a, \ \ \ x>-1 
\end{matrix}\right.}

Αν \displaystyle{a<0} ή \displaystyle{a=0} η συνάρτηση στο διάστημα \displaystyle{[-1,+\infty)} θα είναι γνησίως φθίνουσα ή σταθερή αντίστοιχα.

Άρα πρέπει \displaystyle{a>0} οπότε \displaystyle{f^{\prime}(x)>0, \ \ \forall x\in (-1,+\infty)}.

Ακόμη, στο διάστημα \displaystyle{(-\infty,-1)} είναι \displaystyle{f^{\prime}(x)=3x^2+4x+a}
Στο σημείο αυτό ο μαθητής, επηρεασμένος από τον τρόπο που λύνουμε τη σχολική άσκηση, πιθανόν να σκεφτεί λανθασμένα και να προτείνει ότι το τριώνυμο \displaystyle{f^{\prime}(x)=3x^2+4x+a} πρέπει να έχει διακρίνουσα μη θετική. Αυτό θα τον οδηγήσει να δώσει \displaystyle{a\geq \frac{4}{3}}
Για τις τιμές αυτές πράγματι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}, όμως δεν είναι μόνο για αυτές!
Η διακρίνουσα του τριωνύμου \displaystyle{g(x)=3x^2+4x+a, \ \ x\in\mathbb{R}} είναι η \displaystyle{\Delta=16-12a}

Αν \displaystyle{a>\frac{4}{3}} τότε \displaystyle{\Delta<0 οπότε το τριώνυμο είναι θετικό και έτσι \displaystyle{f^{\prime}(x)>0, \ \ \forall x\in (-\infty,-1),(-1,+\infty)} και εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής στο \displaystyle{-1} θα είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}

Αν \displaystyle{a=\frac{4}{3}} τότε \displaystyle{\Delta=0 οπότε το τριώνυμο είναι θετικό στο \displaystyle{\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)} και συνεπώς \displaystyle{f^{\prime}(x)>0, \ \ \forall x\in (-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)} και εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής στο \displaystyle{-1} θα είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}

Αν \displaystyle{0<a<\frac{4}{3}} τότε το τριώνυμο \displaystyle{g(x)=3x^2+4x+a, \ \ x\in\mathbb{R}} έχει θετική διακρίνουσα και δύο αρνητικές ρίζες εκατέρωθεν των οποίων αλλάζει πρόσημο, με θετικό πρόσημο στο διάστημα \displaystyle{(-\infty,r_1)}, \displaystyle{r_1=\frac{-4-\sqrt{16-12a}}{6}} η μικρότερη ρίζα του τριωνύμου.

Αν η μικρότερη ρίζα του τριωνύμου είναι μικρότερη του \displaystyle{-1} τότε στο διάστημα \displaystyle{(r_1,-1)} η \displaystyle{f^{\prime}} είναι αρνητική οπότε δεν μπορεί η συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα.

Αν η μικρότερη ρίζα του τριωνύμου είναι μεγαλύτερη ή ίση του \displaystyle{-1} το οποίο γίνεται όταν \displaystyle{r_1=\frac{-4-\sqrt{16-12a}}{6}\geq -1 \Leftrightarrow a\geq 1} τότε \displaystyle{f^{\prime}(x)>0, \ \ \forall x\in (-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)} και εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής στο \displaystyle{-1} θα είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}

Τελικά η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα όταν \displaystyle{a\geq1}


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5434
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Φεβ 17, 2015 9:40 pm

Όλα ξεκινάνε από την απλή αλλά σημαντικότατη διαπίστωση ότι άλλες συνθήκες χρειαζόμαστε για να εξασφαλίσουμε ότι ax^2+bx+c>0,\forall x\in\mathbb R και άλλες

για να ισχύει ότι ax^2+bx+c>0,\forall x\in\mathbb D\neq \mathbb R, όπου \mathbb D είναι ένα υποδιάστημα του \mathbb R.

Ο συνάδελφος abgd μας δίνει μια ωραία αφορμή να κάνουμε στο σχολείο μια σχετική άσκηση στο πρόσημο τριωνύμου , με περιορισμό δηλαδή του x σε διάστημα.

Να πούμε ότι το επίσης ότι το παράδειγμα που μας χάρισε είναι εξαιρετικά διδακτικό για το σκοπό, τον οποίο το επέλεξε. Τον ευχαριστώ.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Βασίλης Καλαμάτας
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2009 10:50 am
Τοποθεσία: Λαμία

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βασίλης Καλαμάτας » Τρί Φεβ 17, 2015 9:46 pm

Ευχαριστώ πολύ το συνάδελφο abgd για το χρόνο που αφιέρωσε για να παρουσιάσει την παραπάνω λύση.


Υπάρχουν γέφυρες στη ζωή που περνάς και γέφυρες που καις....
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6881
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μονοτονία συνάρτησης

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Φεβ 17, 2015 10:19 pm

Γράφω όχι για να ξανα...δηλώσω τη διαφωνία μου απλά για να ρωτήσω όσον αφορά τα σχόλια του βιβλίου.
Το σχόλιο σε εκείνο το σημείο του σχολικού βιβλίου λέει στο τέλος "Ισχύει όμως f'(x)\ge 0".
Αυτό εξασφαλίζει στον μαθητή μια γνώση που μπορεί να χρησιμοποιήσει ναι ή όχι;
Δηλαδή αν έχει μία παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα \Delta και είναι γνησίως αύξουσα τότε f'(x) \ge 0 στο \Delta ;;
'Η χρειάζεται απόδειξη γι' αυτό;
Καλό είναι να μιλάμε και να ανταλλάσσουμε απόψεις είναι όμως κακό(για εμένα) να δυϊλίζουμε τον κώνωπα.

υ.γ: Εξηγούμαι (ξανά) για να μην παρεξηγούμαι . Μιλάω για την αρχική άσκηση και όχι για οποιαδήποτε άλλη κατασκευή.


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης