ΑνισοΪσότητα

ann79 · #1

Καλημέρα.

Σε άσκηση έχουμε δείξει ότι $\displaystyle xe^{\frac{1}{x}}\geq \ e$ .

Οι παρακάτω ισοδυναμίες χρειάζονται περαιτέρω δικαιολόγηση;
Για x>0

ισοδύναμα $\displaystyle (e^{1/x})^{x}\geq (\frac{e}{x})^{x}\Leftrightarrow e\geq (\frac{e}{x})^{x}$

#2

ann79 έγραψε: Σε άσκηση έχουμε δείξει ότι $\displaystyle xe^{\frac{1}{x}}\geq \ e$ .

Οι παρακάτω ισοδυναμίες χρειάζονται περαιτέρω δικαιολόγηση;
Για ισοδύναμα $\displaystyle (e^{1/x})^{x}\geq (\frac{e}{x})^{x}\Leftrightarrow e\geq (\frac{e}{x})^{x}$

Μια χαρά είναι.

Αν θα υπήρχε κάποιο σχόλιο θα ήταν να γίνει πιο αναλυτικά το πρώτο βήμα παρεμβάλοντας το

"ισοδύναμα $\displaystyle e^{\frac{1}{x}}\geq \frac {e}{x}$ οπότε υψώνοντας σε δύναμη

έπεται..."

'Οπως και να είναι, θεωρώ την απάντηση πληρέστατη. Η τεριμμένη προσθήκη που σημείωσα μπορεί να λείπει χωρίς βλάβη
στον συλλογισμό. Η απαίτηση για προσθήκη θα ήταν περίπτωση που στα αγγλικά ονομάζεται pedantic (*).

Αν αναλωνόμαστε σε τέτοιες συζητήσεις, χάνουμε την ουσία των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά είναι αλλού, όχι σε ανησυχία για το παραπάνω.

(*) Από λεξικό: Pedant. One who is interested in words and rules rather than making wise use of knowledge (Κάποιος που ενδιαφέρεται περισσότερο για λόγια και κανόνες αντί να κάνει σοφή χρήση της γνώσης).

Λάμπρος Μπαλός · #3

ann79 έγραψε:Καλημέρα.

Σε άσκηση έχουμε δείξει ότι $\displaystyle xe^{\frac{1}{x}}\geq \ e$ .

Οι παρακάτω ισοδυναμίες χρειάζονται περαιτέρω δικαιολόγηση;
Για ισοδύναμα $\displaystyle (e^{1/x})^{x}\geq (\frac{e}{x})^{x}\Leftrightarrow e\geq (\frac{e}{x})^{x}$

Καλύτερα θα ήταν έτσι :

$xe^{\frac{1}{x}} \geq e$ και εφόσον η συνάρτηση $a^{x}$ , με a>1

είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι :

$(xe^{\frac{1}{x}})^{x} \geq e^{x} \Leftrightarrow x^{x} \cdot e \geq e^{x} \Leftrightarrow e \geq (\frac{e}{x})^{x}$ , για x>0

Αλλά και έτσι που το έχεις μια χαρά είναι, ας μη βγάζουμε κι από τη μύγα ξίγκι.

#4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Τετ Απρ 20, 2016 11:03 am

ann79 έγραψε:Καλημέρα.

Σε άσκηση έχουμε δείξει ότι $\displaystyle xe^{\frac{1}{x}}\geq \ e$ .

Οι παρακάτω ισοδυναμίες χρειάζονται περαιτέρω δικαιολόγηση;
Για ισοδύναμα $\displaystyle (e^{1/x})^{x}\geq (\frac{e}{x})^{x}\Leftrightarrow e\geq (\frac{e}{x})^{x}$
Καλύτερα θα ήταν έτσι :

$xe^{\frac{1}{x}} \geq e$ και εφόσον η συνάρτηση $a^{x}$ , με είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι :

$(xe^{\frac{1}{x}})^{x} \geq e^{x} \Leftrightarrow x^{x} \cdot e \geq e^{x} \Leftrightarrow e \geq (\frac{e}{x})^{x}$ , για

Αλλά και έτσι που το έχεις μια χαρά είναι, ας μη βγάζουμε κι από τη μύγα ξίγκι.

Νομίζω θέλει x^a,

χωρίς να θέλω να γίνω pedant...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 20, 2016 10:59 am
...

Η απαίτηση για προσθήκη θα ήταν περίπτωση που στα αγγλικά ονομάζεται pedantic (*).

Αν αναλωνόμαστε σε τέτοιες συζητήσεις, χάνουμε την ουσία των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά είναι αλλού, όχι σε ανησυχία για το παραπάνω.

(*) Από λεξικό: Pedant. One who is interested in words and rules rather than making wise use of knowledge (Κάποιος που ενδιαφέρεται περισσότερο για λόγια και κανόνες αντί να κάνει σοφή χρήση της γνώσης).

Ενδιαφέρον λίαν!

KARKAR · #5

Ένα ακόμη ερώτημα : Δείξτε ότι : $\forall x>0$ ισχύει : $e^\frac{1}{x}\geq \dfrac{(x+2)\sqrt{e}}{2x}$

Μάρκος Βασίλης · #6

Αρχικά, παρατηρούμε ότι η $f(x)=xe^{1/x}$ είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$ αφού:

$\displaystyle{f'(x)=e^{1/x}-\frac{1}{x}e^{1/x}=e^{1/x}\left(1-\frac{1}{x}\right)}$

και:

$\displaystyle{f''(x)=-\frac{1}{x^2}e^{1/x}\left(1-\frac{1}{x}\right)+e^{1/x}\frac{1}{x^2}=e^{1/x}\frac{1}{x^2}\left(1-1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^3}e^{1/x}>0,}$

για x>0

.

Τώρα, η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

στο

είναι η:

$\displaystyle{y=f'(2)(x-2)+f(2)\Leftrightarrow y=e^{1/2}\frac{1}{2}(x-2)+2e^{1/2}\Leftrightarrow y=\frac{\sqrt{e}}{2}x-\sqrt{e}+2\sqrt{e}\Leftrightarrow y=\frac{(x+2)\sqrt{e}}{2}.}$

Τώρα, αφού η

είναι κυρτή η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της, οπότε:

$\displaystyle{f(x)\geq\frac{(x+2)\sqrt{e}}{2}\Leftrightarrow xe^{1/x}\geq\frac{(x+2)\sqrt{e}}{2}\Leftrightarrow e^{1/x}\geq\frac{(x+2)\sqrt{e}}{2x}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 22, 2020 10:42 am
Ένα ακόμη ερώτημα : Δείξτε ότι : $\forall x>0$ ισχύει : $e^\frac{1}{x}\geq \dfrac{(x+2)\sqrt{e}}{2x}$

Αν θέσουμε $t=\frac{1}{x}> 0$
γίνεται
$e^{t-\frac{1}{2}}\geq \frac{1}{2}+t$

που είναι η πασίγνωστη σε όλους

$e^{x}\geq 1+x$

ΑνισοΪσότητα

ΑνισοΪσότητα

Re: ΑνισοΪσότητα

Re: ΑνισοΪσότητα

Re: ΑνισοΪσότητα

Re: ΑνισοΪσότητα

Re: ΑνισοΪσότητα

Re: ΑνισοΪσότητα

Μέλη σε σύνδεση