Κυρτή και ανισότητα!

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Κυρτή και ανισότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Μάιος 05, 2016 2:25 pm

Δίνεται η συνάρτηση

\displaystyle{f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}} με \displaystyle{f(x)=(e^x-1)\ln (x+1).}

\displaystyle{\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή.

\displaystyle{\bullet} Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)\geq x^2\,\, \forall x\in (-1,+\infty).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Κυρτή και ανισότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Μάιος 05, 2016 11:01 pm

Μια λύση για την ανισότητα

\displaystyle{({{e}^{x}}-1)\ln (x+1)\ge {{x}^{2}}}

Για \displaystyle{x=0} ισχύει ως ισότητα
Για \displaystyle{x\ne 0} και \displaystyle{x>-1}, διαιρώντας με \displaystyle{x\ln (x+1)>0} (ομόσημοι ) , γίνεται :
\displaystyle{\frac{{{e}^{x}}-1}{x}\ge \frac{x}{\ln (x+1)}}
Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση \displaystyle{t(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{{{e}^{x}}-1}{x},\,\,x\ne 0  \\ 
   \,\,\,\,0\,\,\,\,\,,\,\,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.} είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{R}.

Επίσης ισχύει \displaystyle{\ln x<x-1\Rightarrow \ln (x+1)<x},\displaystyle{x\ne 0} και \displaystyle{x>-1}
Επομένως \displaystyle{t(\ln (x+1))<t(x)\Rightarrow \frac{x}{\ln (x+1)}<\frac{{{e}^{x}}-1}{x}},\displaystyle{x\ne 0} και \displaystyle{x>-1}


Kαλαθάκης Γιώργης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Κυρτή και ανισότητα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Παρ Μάιος 06, 2016 2:22 am

matha έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση

\displaystyle{f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}} με \displaystyle{f(x)=(e^x-1)\ln (x+1).}

\displaystyle{\bullet} Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή.

\displaystyle{\bullet} Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)\geq x^2\,\, \forall x\in (-1,+\infty).}
Για κάθε \displaystyle{x >  - 1} βρίσκουμε: \displaystyle{{f{'}}(x) = {e^x}\ln (x + 1) + \frac{{{e^x} - 1}}{{x + 1}}} και \displaystyle{{f{''}}(x) = {e^x}\ln (x + 1) + \frac{{{e^x}}}{{x + 1}} + \frac{{x{e^x} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}

α) Γνωρίζουμε (εφαρμογή σχολικού) ότι για κάθε \displaystyle{t > 0} ισχύει \displaystyle{\ln t \le t - 1\,\,\,(1)} με την ισότητα να ισχύει μόνο αν \displaystyle{x = 1} .

\displaystyle{ \bullet } Θέτουμε στην (1) όπου \displaystyle{t} το \displaystyle{\frac{1}{{x + 1}}\,\,\,(x >  - 1)} οπότε παίρνουμε \displaystyle{\,\ln (x + 1) \ge \frac{x}{{x + 1}}}\displaystyle{ \Rightarrow \,\,\,\ln (x + 1) + \frac{1}{{x + 1}} \ge 1\,\,\,\,(2)\,\,} με την ισότητα να ισχύει μόνο αν \displaystyle{x = 0} .

\displaystyle{ \bullet } Θέτουμε στην (1) όπου \displaystyle{t} το \displaystyle{\,{e^x}} οπότε παίρνουμε \displaystyle{\,{e^x} \ge x + 1\,\,\,\,(3)\,\,} με την ισότητα να ισχύει μόνο αν \displaystyle{x = 0} .

\displaystyle{ \bullet } Για κάθε \displaystyle{x >  - 1} έχουμε: \displaystyle{x\left( {{e^x} - 1} \right) \ge 0 \Rightarrow x{e^x} \ge x \Rightarrow x{e^x} + 1 \ge x + 1 \Rightarrow \frac{{x{e^x} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{x + 1}}\,\,\,(4)} με την ισότητα να ισχύει μόνο αν \displaystyle{x = 0} .

Συνεπώς για κάθε \displaystyle{x >  - 1} έχουμε:

\displaystyle{{f{''}}(x) = {e^x}\left( {\ln (x + 1) + \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \frac{{x{e^x} + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(2),(3),(4)} {f{''}}(x) \ge \left( {x + 1\,} \right) + \frac{1}{{x + 1}} \ge 2} με την ισότητα να ισχύει μόνο αν \displaystyle{x = 0} .

Προκύπτει ότι η \displaystyle{f} είναι κυρτή.

β) Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{g(x) = f(x) - {x^2}} , \displaystyle{x >  - 1}

Για κάθε \displaystyle{x >  - 1} έχουμε:

\displaystyle{{g{'}}(x) = {f{'}}(x) - 2x\,\,\,\,\,,\,\,\,{g{'}}(0) = 0} και \displaystyle{{g{''}}(x) = {f{''}}(x) - 2 \ge 0} με την ισότητα να ισχύει μόνο αν \displaystyle{x = 0} . Άρα η \displaystyle{{g{'}}} είναι γνησίως αύξουσα και εύκολα βρίσκουμε ότι \displaystyle{{g{'}}(x) < 0\,\,\,\,\forall x \in \left( { - 1\,\,,\,\,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{g{'}}(x) > 0\,\,\,\,\forall x \in \left( {0\,\,,\,\, + \infty } \right)} .

Συμπεραίνουμε ότι η \displaystyle{g} στο \displaystyle{{x_o} = 0} παρουσιάζει ελάχιστο οπότε για κάθε \displaystyle{x >  - 1} ισχύει \displaystyle{g(x) \ge g(0) \Rightarrow f(x) - {x^2} \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge {x^2}} .


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6881
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Κυρτή και ανισότητα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Μάιος 06, 2016 12:10 pm

Καλημέρα. Μια εικασία που προέκυψε χτες κοιτώντας την άσκηση που έδωσε ο Θάνος.
Αν έχουμε μία κυρτή συνάρτηση, με την αντίστροφη της κοίλη, ορισμένες φυσικά σε κατάλληλο διάστημα (εννοώ να ορίζονται και οι δύο)
γνησίως αύξουσες και οι δύο, τότε το γινόμενο αυτών των δύο συναρτήσεων είναι πάντα κυρτή συνάρτηση;
Δεν την έχω ψάξει, δεν ξέρω αν υπάρχει ήδη ως πρόταση.


Χρήστος Κυριαζής
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτή και ανισότητα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 06, 2016 12:36 pm

Δεν ισχύει.
Εκθετική λογαριθμική στους θετικούς.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1416
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Κυρτή και ανισότητα!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Μάιος 07, 2016 6:24 pm

Για την κυρτότητα της συνάρτησης.
Υπολόγισα τη δεύτερη παράγωγο όπως ο isiodos, αλλά στη συνέχεια την έγραψα ως:
f''(x)=\frac{e^x.(x+1)^{2}ln(x+1)+e^x(x+1) + e^x.x+1}{(x+1)^{2}}
Ο παρονομαστής είναι θετικός στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης,
αρκεί να είναι και ο αριθμητής θετικός.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι e^x.x + 1 > 0, για κάθε x, άρα και x > -1, (1)
(x+1)ln(x+1) + 1 > 0 , για x > -1, (2).

Μπορούμε να αποδείξουμε (είναι κάπως ενδιαφέρον) ότι
\lim ({xe^{x}+1})=1 όταν το x τείνει στο μείον άπειρο.
και ότι xlnx + 1 > 0 για κάθε x >0.

Ανδρέας Πούλος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες