f(x)=x^3+sinx

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

f(x)=x^3+sinx

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μάιος 06, 2016 12:32 pm

Μια άσκηση που σκάρωσα ψες:

Δίνεται η συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=x^3+\sin x,~x\in \mathbb{R}.}

a) Να αποδείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη.

b) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \displaystyle{f^{-1}.}

c) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τα κοίλα.

d) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο \displaystyle{(a,f(a))} της \displaystyle{C_f} με \displaystyle{a\ne 0,} ώστε η εφαπτομένη της \displaystyle{C_f} στο σημείο αυτό να διέρχεται από το \displaystyle{O(0,0).}

e) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \displaystyle{\xi \in (0,1),} ώστε \displaystyle{f'(\xi)=f(1)}

f) Να αποδείξετε ότι το \displaystyle{\xi} του προηγούμενου ερωτήματος βρίσκεται πλησιέστερα στο δεξιό άκρο του διαστήματος \displaystyle{(0,1).}


Μάγκος Θάνος
GMANS
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: f(x)=x^3+sinx

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Παρ Μάιος 06, 2016 5:25 pm

a) f'(x)=3x^2+cosx, f''(x)=6x-sinx,f'''(x)=6-cosx>0
οπότε :f ’’ είναι γνησίως αύξουσα
άρα :
x\succ 0\rightarrow f''(x)\succ f''(0)=0, 
x\prec  0\rightarrow f''(x)\prec  f''(0)=0
επομένωςf ‘ γν. φθίνουσα στο (-\infty ,0] και γν. αύξουσα στο
[0,+\infty ) οπότε \forall x\epsilon R: f'(x)\geq f'(0)=1
Δηλαδή f γν. αύξουσα άρα και «1-1» οπότε f αντιστρέψιμη
b) f συνεχής και γν. αύξουσα επομένως
A_{f^{-1}}=f(R)=(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x),\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x))=R (εύκολα)
c) Από (a) f στρέφει τα κοίλα άνω στο [0,+\infty ) και στρέφει τα κοίλα κάτω στο (-\infty,0]
d) Για να διέρχεται η εφαπτομένη στο(a,f(a)) από O(0,0) πρέπει να υπάρχει a: f(a)=af'(a) .
Ονομάζω
g(x)=f(x)-xf'(x)=x^3+sinx-3x^3-xcosx=-2x^3+sinx-xcosx,        
g'(x)=-6x^2+cosx-cosx+xsinx=-6x^2+xsinx=x(sinx-x-5x)\prec 0 για x>0 διότι

για x>0 είναι
\left | sinx \right |\prec \left | x \right |=x\Leftrightarrow -x\prec sinx\prec x\Rightarrow sinx-x\prec 0 επομένως για x>0 είναι
g γνησίως φθίνουσα για x\succ 0\Rightarrow g(x)\prec g(0) =0
για x>0 είναι g(x) \neq 0 όμοια για x<0 είναι g(x) \neq 0 τελικά δεν υπάρχει a\neq 0 : η εφαπτομένη στο a να διέρχεται από O(0,0)


e,f) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση
f'(x)=f(1)\Leftrightarrow 3x^2+cosx-1-sin1=0
έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0, 1)
Ονομάζω k(x)= 3x^2+cosx-1-sin1 τότε
k συνεχής στο [\frac{1}{2}, 1] και
k(1)  =2+cos1-sin1\succ 0
και
k(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}+cos\frac{1}{2}-sin1\prec 0 (#)
τότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi \epsilon (\frac{1}{2},1) άρα \xi \epsilon (0,1)

και για κάθε x\epsilon (0,1) είναι
k'(x)= 6x-sinx=5x+(x-sinx)\succ 0 άρα k γνησίως αύξουσα επομένως ο
προηγούμενος ξ είναι μοναδικός στο (0, 1) και είναι πλησιέστερος στο1
(#)
cos\frac{1}{2}-sin1=sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1
με ΘΜΤ για την συνάρτηση H(x)=sinx στο διάστημα
[1,\frac{\pi -1}{2}] προκύπτει ότι υπάρχειt\epsilon (1,\frac{\pi -1}{2}): sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1   =cost*(\frac{\pi-3}{2 })
τότε
-\frac{1}{4}+sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1= cost*(\frac{\pi-3}{2 })-\frac{1}{4} \prec \frac{\pi-3}{2 }-\frac{1}{4}  \prec   0

Ευχαριστώ τον Γιώργο Ροδόπουλο (παρακάτω ανάρτηση) για την παρατήρησή του
τελευταία επεξεργασία από GMANS σε Σάβ Μάιος 07, 2016 8:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γ. Μανεάδης
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: f(x)=x^3+sinx

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Μάιος 07, 2016 12:39 am

Γράφω τον υπολογισμό των ορίων που άφησε ο φίλος GMANS, στο 2ο ερώτημα.

Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} έχουμε

\displaystyle{-1\leq \sin\,x\leq 1\implies x^3-1\leq f(x)\leq x^3+1} .

Από το γεγονός ότι \displaystyle{f(x)\geq x^3-1\,,x\in\mathbb{R}} και το γεγονός ότι \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(x^3-1)=+\infty} ,

έπεται ότι \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty} , ενώ

από το γεγονός ότι \displaystyle{f(x)\leq x^3+1\,,x\in\mathbb{R}} και το γεγονός ότι \displaystyle{\lim_{x\to -\infty}(x^3+1)=-\infty} ,

έπεται ότι \displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty} .


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: f(x)=x^3+sinx

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Μάιος 07, 2016 2:53 pm

Όσον αφορά τα δύο τελευταία ερωτήματα θα μπορούσαμε να πούμε και το εξής:

Το e) είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την \displaystyle{f} στο \displaystyle{[0,1].}

Άρα υπάρχει \displaystyle{\xi \in (0,1),} ώστε \displaystyle{3\xi ^2+\cos \xi=1+\sin 1.}

Αυτή γράφεται και ως

\displaystyle{3\xi ^2-\sin 1=1-\cos \xi.}

Επομένως, είναι φανερό ότι \displaystyle{3\xi ^2-\sin 1>0\implies \xi >\sqrt{\frac{\sin 1}{3}}.}

Αρκεί τώρα να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\sqrt{\frac{\sin 1}{3}}>\frac{1}{2},} δηλαδή ότι \displaystyle{\sin 1>\frac{3}{4}.}

Αυτό είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας \displaystyle{\sin x> x-\frac{x^3}{6}~~\forall x>0.} (\displaystyle{\color{red}\maltese })

Βέβαια η επίκληση στην (\displaystyle{\color{red}\maltese }) είναι ομολογουμένως ένα μελανό σημείο αυτής της απόδειξης.


Μάγκος Θάνος
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: f(x)=x^3+sinx

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 07, 2016 3:15 pm

Και το πρώτο ερώτημα μπορεί να γίνει πιο απλά.

Για να δείξουμε ότι η δοθείσα είναι γνήσια αύξουσα μπορούμε να πούμε:

Είναι γνήσια αύξουσα στο [0, +\infty ) διότι έχει παράγωγο 3x^2+ \cos x
η οποία α) είναι θετική στο [0, 1] \subseteq [0, \pi /2] ως άθροισμα δύο θετικών και
β) είναι θετική στο [1, +\infty ) καθώς 3x^2+ \cos x \ge 3 \cdot 1 - 1 >0.
Δηλαδή μέχρι τώρα ξέρουμε ότι είναι γνήσια αύξουσα στο [0, +\infty ). Στο υπόλοιπο είναι γν. αύξουσα
καθώς είναι περιττή και το ζητούμενο έπεται από τα προηγούμενα.


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: f(x)=x^3+sinx

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Σάβ Μάιος 07, 2016 8:22 pm

GMANS έγραψε: (#)
cos\frac{1}{2}-sin1=sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1
με ΘΜΤ για την συνάρτηση H(x)=sinx στο διάστημα
[1,\frac{\pi -1}{2}] προκύπτει ότι υπάρχειt\epsilon (1,\frac{\pi -1}{2}): sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1   =cost*(\frac{2}{3-\pi })\prec 0\Rightarrow -\frac{1}{4}+sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1 \prec 0
Γιώργο νομίζω ότι υπάρχει λάθος(στις πράξεις κατά την εφαρμογή του ΘΜΤ) .

\displaystyle{0 < 1 < \frac{{\pi  - 1}}{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin (1) < \sin \left( {\frac{{\pi  - 1}}{2}} \right) \Rightarrow \sin \left( {\frac{{\pi  - 1}}{2}} \right) - \sin (1) > 0}


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες