Συνηθισμένη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Συνηθισμένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιούλ 30, 2016 9:31 am

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με τύπο \displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln (x + 1) + x}
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της
β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασής της .
γ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται και ότι η εξίσωση \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = f(x)} έχει μοναδική ρίζα \displaystyle{k \in ( - 1,0)}
δ) Να βρεθεί σαν συνάρτηση του \displaystyle{k} το σύνολο λύσεων της ανίσωσης \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) > x}


Kαλαθάκης Γιώργης
papamixalis
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Συνηθισμένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Σάβ Ιούλ 30, 2016 2:12 pm

Καλησπέρα :logo:
Αρχικά μιλάμε για x>-1

a)f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x+1}+1 >0 για x>-1
άρα η f είναι γν. αύξουσα.
υπολογίζοντας τα όρια στο -1 και στο + άπειρο , το σύνολο τιμών είναι το
(- \infty,+\infty) δηλαδή το R

b)f''(x)=e^x-\dfrac{1}{(x+1)^2}

x=0 προφανής ρίζα.
Έστω ότι έχει και άλλη, τότε από το θεώρημα του Rolle θα υπάρχει x_{0} τέτοιο ώστε f'''(x_{0})=0.
Άτοπο αφού f'''(x)=e^x+\dfrac{2}{(x+1)^3}>0 για x>-1

c)Η f είναι 1-1 αφού είναι γν.αύξουσα.
Επομένως και τα κοινά σημεία της εξίσωσης θα βρίσκονται στην y=x
Αρκεί να λύσω λοιπόν την f(x)=x \leftrightarrow e^x+ln(x+1)=0
Για να έχει ρίζα η εξίσωση πρέπει ln(x+1)<0 \leftrightarrow x+1<1 \leftrightarrow x<0 και επειδή η f ορίζετε για x>-1 η ρίζα k της εξίσωσης θα ανήκει στο (-1,0) μοναδική λόγω μονοτονίας.

d)Η f είναι γν. αύξουσα.Άρα η ανίσωση ισοδυναμεί με την x>f(x) \leftrightarrow e^x+ln(x+1)<0
Θεωρώ συνάρτηση g(x)=e^x+ln(x+1) γν. αύξουσα.
Επίσης γνωρίζω ότι g(k)=0
άρα αρκεί να λύσω την g(x)<g(k) \leftrightarrow x<k αφού η g είναι γν. αύξουσα.
Επειδή όμως η f^{-1} ορίζεται στο Rκαι είναι f^{-1}(x)>x για x \leq -1 η ανίσωση θα ισχύει για κάθε x<k

EDIT:Όπως είπε και ο κύριος Μιχάλης και με ενημέρωσε και ο κύριος Γιώργος σε μήνυμα η ανίσωση ισχύει απλά για x<k το διορθώνω για να μην υπάρχουν παρανοήσεις.

Φιλικά
Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από papamixalis σε Δευ Αύγ 01, 2016 10:07 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συνηθισμένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Ιούλ 30, 2016 4:48 pm

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με τύπο \displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln (x + 1) + x}
α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της
β) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασής της .
γ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται και ότι η εξίσωση \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = f(x)} έχει μοναδική ρίζα \displaystyle{k \in ( - 1,0)}
δ) Να βρεθεί σαν συνάρτηση του \displaystyle{k} το σύνολο λύσεων της ανίσωσης \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) > x}
...μιά προσπάθεια....

α) Για να ορίζεται η fπρέπει και αρκεί x+1>0\Leftrightarrow x>-1 άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο

A=(-1,\,\,+\infty )Η \displaystyle{f(x) = {e^x} + \ln (x + 1) + x} είναι παραγωγίσιμη στο A=(-1,\,\,+\infty )με

{f}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x+1}+1>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty ) επομένως η f είναι γνήσια αύξουσα στο A=(-1,\,\,+\infty )

και λόγω της συνέχειας της είναι f(A)=(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )=R

επειδή \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+1}=-\infty και

\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}+1)=\frac{1}{e}+1 και

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{x+1}+1)=0, \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x}}=+\infty

β) Είναι η {f}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x+1}+1>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty ) παραγωγίσιμη με

{f}''(x)={{e}^{x}}-\frac{1}{{{(x+1)}^{2}}},\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty ) με {f}''(0)=0 και ακόμη

{f}'''(x)={{e}^{x}}+\frac{2}{{{(x+1)}^{3}}}>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty ) άρα η {f}'' είναι γνήσια αύξουσα στο A=(-1,\,\,+\infty )

επομένως για x<0\Rightarrow {f}''(x)<{f}''(0)=0 συνεπώς η f είναι κοίλη στο (-1,\,\,0] και για

x>0\Rightarrow {f}''(x)>{f}''(0)=0 συνεπώς η f είναι κυρτή στο [0,\,\,+\infty ) οπότε το σημείο για (0,\,\,f(0)) ή (0,\,\,f(0))

είναι σημείο καμπής της f.

γ) Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1' είναι αντιστρέψιμη με {{f}^{1}}:R\to (-1,\,\,+\infty ).

Τώρα θεωρώντας το σύστημα των εξισώσεων

(\Sigma )\left\{ \begin{matrix} 
  & y=f(x) \\  
 & y={{f}^{-1}}(x) \\  
\end{matrix} \right. με x\in {{D}_{f}}\cap {{D}_{{{f}^{-1}}}}=(-1,\,\,+\infty ) είναι ισοδύναμα \left\{ \begin{matrix} 
  & y=f(x) \\  
 & f(y)=x \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y=f(x) \\  
 & f(y)+y=f(x)+x \\  
\end{matrix} \right.

και επειδή η συνάρτηση g(x)=f(x)+xείναι γνήσια αύξουσα στο A=(-1,\,\,+\infty ) ισοδύναμα έχουμε ότι

\left\{ \begin{matrix} 
  & y=f(x) \\  
 & g(y)=g(x) \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y=f(x) \\  
 & y=x \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & f(x)=x \\  
 & y=x \\  
\end{matrix} \right.(1)

Η εξίσωσηf(x)=x ισοδύναμα {{e}^{x}}+\ln (x+1)+x=x\Leftrightarrow {{e}^{x}}+\ln (x+1)=0.

Τώρα για την συνάρτηση h(x)={{e}^{x}}+\ln (x+1) που είναι συνεχής ισχύουν

h(0)=1>0 και \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}+\ln (x+1))=-\infty

άρα υπάρχει \alpha >-1 με h(\alpha )<0 οπότε h(0)h(\alpha )<0 και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει

k\in (\alpha ,0)\subset (-1,\,\,0) που h(k)=0 που είναι μοναδικό γιατί

{h}'(x)={{e}^{x}}+\frac{1}{x+1}>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,+\infty ) άρα η h γνήσια αύξουσα στο (-1,\,\,+\infty ) άρα και '1-1' οπότε

(1)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & f(x)=x \\  
 & y=x \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & x=k \\  
 & y=k \\  
\end{matrix} \right.δηλαδή το σύστημα έχει μοναδική λύση την (k,\,\,k) άρα

{{f}^{-1}}(x)=f(x)\Leftrightarrow x=\kappa

δ) Είναι {{f}^{-1}}(x)>x\overset{f\nearrow }{\mathop{\Leftrightarrow }}\,f({{f}^{-1}}(x))>f(x)\Leftrightarrow x-f(x)>0 (2)

Τώρα σύμφωνα με το (γ) η εξίσωση f(x)-x=0 έχει μοναδική λύση στο (-1,\,\,+\infty ) την x=\kappa \in (-1,\,\,0)

και επειδή η συνάρτηση \phi (x)=f(x)-x είναι συνεχής και \phi (x)\ne 0,\,\,\,x\in (-1,\,\,k)\cup (k,\,\,+\infty )

διατηρεί σταθερό πρόσημο στα (-1,\,\,k),\,\,(k,\,\,+\infty ) και αφού

\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\phi (x)=-\infty είναι \phi (x)<0,\,\,\,x\in (-1,\,\,k) ισοδύναμα

f(x)-x<0\Leftrightarrow x-f(x)>0,\,\,\,x\in (-1,\,\,k) άρα η (2) αληθεύει για x\in (-1,\,\,k)
ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΗ.jpg
ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΗ.jpg (16.91 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές
...πρόσθεσα και τις γραφικές παραστάσεις βλέποντας την έλλειψη που είχε η απάντηση στο (δ) και έδωσε ο Μιχάλης στο
επόμενο post
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Συνηθισμένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Ιούλ 31, 2016 11:08 pm

Για το δ) η αρχική ανίσωση ορίζεται σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών .Επιπλέον λοιπόν έχουμε:
Για x\leq-1 είναιx\leq-1<f^{-1}(x) άρα η αρχική ανίσωση έχει λύσεις όλα τα x<k


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης