Ελάχιστη διαδρομή

KARKAR · #1

: Ελάχιστη διαδρομή.png (6.37 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle OAB$ , το σημείο

είναι το συμμετρικό του

, ως προς την

.

Από το

μεταβαίνουμε σε σημείο

της

και από εκεί κατακόρυφα σε σημείο

της

.

α) Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να εκφράζει το μήκος της διαδρομής A'-S-P

και υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της .

β) Τη στιγμή της ελαχιστοποίησης , υπάρχει περίπτωση η γωνία $\hat{B}$ να είναι ίση με την $\hat{A'}$ ;

#2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη διαδρομή.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle OAB$ , το σημείο είναι το συμμετρικό του , ως προς την .

Από το μεταβαίνουμε σε σημείο της και από εκεί κατακόρυφα σε σημείο της .

α) Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να εκφράζει το μήκος της διαδρομής

και υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της .

β) Τη στιγμή της ελαχιστοποίησης , υπάρχει περίπτωση η γωνία $\hat{B}$ να είναι ίση με την $\hat{A'}$ ;

Αν πούμε

την γωνία

και θέσουμε $AO=OA'=a, \, OB=b$ έχουμε $A'S = \frac {a}{\cos x}$ . Επίσης από τα όμοια τρίγωνα AOB, PSB

είναι $SP= \frac {AO}{OB}SB= \frac {a}{b} (b-a\tan x)$ .

Άρα θέλουμε το ελάχιστο της $\frac {a}{\cos x}+ \frac {a}{b} (b-a\tan x)$ . Με παραγώγιση εύκολα βλέπουμε ότι έχουμε ελάχιστο αν $\sin x = \frac {a}{b} (=\tan B)$ . Και λοιπά.

Από την τελευταία βλέπουμε ότι δεν γίνεται x=B

διότι στο πρώτο τεταρτημόριο είναι $\sin B < \tan B$ .

Ελάχιστη διαδρομή

Ελάχιστη διαδρομή

Re: Ελάχιστη διαδρομή

Μέλη σε σύνδεση