Συνδυαστική [νιοστή παράγωγος, σύνολο τιμών, εφαπτομένη]

Tolaso J Kos · #1

Και αυτή την άσκηση τη πέτυχα στο facebook και επίσης μου άρεσε η δομή της.

Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο f(x)=xe^x

.

Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών αυτής. Στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι:
$f^{(\nu)} (x) = \nu e^x + f(x)$ όπου $\nu \in \mathbb{N}^*$ .
$f^{\left ( \nu \right )}\left ( \mathbb{R} \right ) \subseteq f^{(\nu-1)} \left ( \mathbb{R} \right ) \subseteq \cdots \subseteq f \left ( \mathbb{R} \right )$
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f^{(\nu)}$ και $f^{(\kappa)}$ όπου $\nu , \kappa \in \mathbb{N}^*$ με $\nu \neq \kappa$ δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.
Η ευθεία $y=(\nu +1) x + \nu$ όπου $\nu \in \mathbb{N}^*$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της $f^{(\nu)}$ .

#2

Αν και η άσκηση μου φαίνεται τετριμμένη, αναρωτιέμαι πώς θα αποδείξει ο μαθητής το πρώτο ζητούμενο χωρίς χρήση επαγωγής.

#3

Tolaso J Kos έγραψε:Και αυτή την άσκηση τη πέτυχα στο facebook και επίσης μου άρεσε η δομή της.

Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο .

Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών αυτής. Στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι:

$f^{(\nu)} (x) = \nu e^x + f(x)$ όπου $\nu \in \mathbb{N}^*$ .

$f^{\left ( \nu \right )}\left ( \mathbb{R} \right ) \subseteq f^{(\nu-1)} \left ( \mathbb{R} \right ) \subseteq \cdots \subseteq f \left ( \mathbb{R} \right )$

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f^{(\nu)}$ και $f^{(\kappa)}$ όπου $\nu , \kappa \in \mathbb{N}^*$ με $\nu \neq \kappa$ δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Η ευθεία $y=(\nu +1) x + \nu$ όπου $\nu \in \mathbb{N}^*$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της $f^{(\nu)}$ .

Αφού

, εύκολα επαγωγικά $f ^{(n)}(x) = (n+ x)e^x$ (ακόμη κια για n=0

) . Συμπεραίνουμε ότι η $f ^{(n)}$ έχει ολικό ελάχιστο στο x=-n-1

(από το $(n+1+ x)e^x = f ^{(n+1)}(x) = \left (f ^{(n)}(x) \right )'$ ) , και είναι φθίνουσα μέχρι εκεί και αύξουσα μετά. Επίσης έπεται

$f^{\left ( n \right )}\left ( \mathbb{R} \right ) = \left [ e^{- n-1}, \, +\infty )$

Αυτά απαντούν στα i, ii, iii. To iv είναι άμεσο αφού για k< n

έχουμε $f ^{(k)}(x) = (k+ x)e^x < (n+ x)e^x = f ^{(n)}(x)$ (διότι e^x >0

). Επίσης το v είναι άμεσο γιατί στο x=0

είναι $y=(n +1) 0 + n = n =f ^{(n)}(0)$

Edit: Με πρόλαβε ο Θάνος, όσο έγραφα. Έχει δίκιο, γι' αυτό έγραψα την λύση με όσο πιο λίγα λόγια γίνεται. Δεν αξίζει ούτε λέξη παραπάνω.

Tolaso J Kos · #4

matha έγραψε:Αν και η άσκηση μου φαίνεται τετριμμένη, αναρωτιέμαι πώς θα αποδείξει ο μαθητής το πρώτο ζητούμενο χωρίς χρήση επαγωγής.

Θάνο απαντάω γρήγορα μιας και γράφω απο κινητό . Έχω κάνει και γω επαγωγή . Το πώς θα το αποδείξει ο μαθητής δε ξέρω . Πάντως η άσκηση έρχεται απο βιβλίο του εξωτερικού αν θυμάμαι καλά ...

Κατά τα άλλα είναι μια εύκολη άσκηση αλλά τη βρήκα όμορφη .

Συνδυαστική [νιοστή παράγωγος, σύνολο τιμών, εφαπτομένη]

Συνδυαστική [νιοστή παράγωγος, σύνολο τιμών, εφαπτομένη]

Re: Συνδυαστική [νιοστή παράγωγος, σύνολο τιμών, εφαπτομένη]

Re: Συνδυαστική [νιοστή παράγωγος, σύνολο τιμών, εφαπτομένη]

Re: Συνδυαστική [νιοστή παράγωγος, σύνολο τιμών, εφαπτομένη]

Μέλη σε σύνδεση