Σχεδιάστε

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1357
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Σχεδιάστε

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Μαρ 21, 2017 11:01 am

Δίνεται η περιττή και παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:R\to R}. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου της , σχεδιασμένης στο \displaystyle{[0,+\infty )} .
Αν \displaystyle{f(2)=-2} , να σχεδιάσετε προσεγγιστικά τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} .
Συνημμένα
odd.png
odd.png (3.03 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3431
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σχεδιάστε

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 21, 2017 12:30 pm

Μία προσπάθεια χωρίς τη σχεδίαση βέβαια διότι δεν είμαι εξοικοιωμένος στο να σχεδιάζω "τυχαίες" καμπύλες.

Εφόσον η f είναι περιττή η f' είναι άρτια. Συνεπώς από το γράφημα συνάγουμε ότι έχει ρίζα και το -2.Τότε εκμεταλλευόμενοι πάλι τη γραφική παράσταση της f' βλέπουμε ότι f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty). Οπότε η f στα διαστήματα αυτά είναι γνήσια αύξουσα και φυσικά στο διάστημα [-2, 2] είναι γνήσια φθίνουσα. Επίσης επειδή η f είναι περιττή θα είναι επίσης f(0)=0. Τέλος αφού f(2)=-2 θα είναι f(-2)=2 όπου φυσικά στο x_0=2 η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ενώ στο x_0=-2 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Η γραφική παράσταση έπεται.

Ας βάλει κάποιος ένα σχήμα. Θα το εκτιμούσα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σχεδιάστε

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 21, 2017 12:36 pm

f  από f'.png
f από f'.png (12.08 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3431
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σχεδιάστε

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 21, 2017 12:37 pm

:clap2: :clap2: :clap2:
Thank you Θανάσης ... Υπέροχο σχήμα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Σχεδιάστε

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 21, 2017 7:44 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ... Υπέροχο σχήμα.
Το σχήμα στηρίχθηκε στην υπόθεση ότι η παράγωγος είναι παραβολή με κορυφή το σημείο (0,-\dfrac{3}{2}) .

Εύκολα τώρα είναι : f'(x)=\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{3}{2} , οπότε ολοκληρώνοντας και αξιοποιώντας το f(2)=-2 ,

προκύπτει ότι είναι : f(x)=\dfrac{1}{8}x^3-\dfrac{3}{2}x . Πιθανότατα αυτή είχε κατά νου ο θεματοδότης ...


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1582
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Σχεδιάστε

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Μαρ 21, 2017 8:09 pm

Ανάλογα με τον Θανάση λίγο πιο αναλυτικά:

Απο την : \displaystyle{\left( {cf\left( x \right)} \right)' = cf'\left( x \right)}

Θεωρούμε στην αρχή την \displaystyle{f'\left( x \right) = {x^2} - 4} (κάνει την δουλειά μας)

Βρίσκουμε την αρχική της \displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - 4x}, μένει να βρεθεί σταθερά για την οποία \displaystyle{cf\left( 2 \right) =  - 2 \Rightarrow c = \frac{3}{8}}.

Αρκεί να θεωρήσουμε την \displaystyle{g\left( x \right) = \frac{3}{8}f\left( x \right)}, έχει όλες τις ζητούμενες ιδιότητες.

Κατά την ταπεινή μου άποψη από τα πιο ωραία θέματα για την εξέταση των γνώσεων της Γ' Λυκείου.


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10228
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σχεδιάστε

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 21, 2017 10:35 pm

Υπήρχαν δεκάδες αν όχι εκατοντάδες τέτοια παραδείγματα σχεδιασμού συνάρτησης από το γράφημα της παραγώγου ή της δεύτερης παραγώγου, μερικά πολύ πονηρά, στην ιστοσελίδα της American Mathematical Association, αλλά δεν τα βρίσκω.

Επίσης υπάρχουν ωραία λογισμικά για αυτήν την δουλειά στο

http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoG ... ph_AD.html

και στο

http://mathdemos.org/mathdemos/function ... ction.html

Μπορούν να αξιοποιηθούν ωραιότατα στην διδασκαλία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης