Οικογενειακή ασύμπτωτη

#1

Δίνεται o αριθμός $\displaystyle{k\in R}$ και οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:R\to R}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x{{e}^{-x}}}$
και $\displaystyle{{{g}_{k}}:R\to R}$ με $\displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1}$ , για την οποία ισχύει η σχέση : $\displaystyle{g(x)={g}'(x)+x}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ .
α) Να βρείτε την εφαπτόμενη ευθεία της $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ στο σημείο $\displaystyle{A(0,f(0))}$ .
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{{{g}_{k}}}$
γ) Αν $\displaystyle{{{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1}$ να βρείτε το $\displaystyle{k}$ ώστε η αντίστοιχη συνάρτηση $\displaystyle{{{g}_{k}}}$ να είναι πλάγια ασύμπτωτη των υπολοίπων στο $\displaystyle{-\infty }$ .
δ) i) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{k}$ ώστε η $\displaystyle{{{g}_{k}}}$ να έχει ολικό μέγιστο .
ii) Να δείξετε ότι για αυτές τις τιμές του $\displaystyle{k}$ , η $\displaystyle{{{C}_{g}}}$ είναι κάτω από την ασύμπτωτη .
ii) Nα δείξετε ότι τα σημεία της $\displaystyle{{{C}_{g}}}$ στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο ανήκουν στην ευθεία που βρήκατε στο (α) .

#2

exdx έγραψε:Δίνεται o αριθμός $\displaystyle{k\in R}$ και οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:R\to R}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=x{{e}^{-x}}}$
και $\displaystyle{{{g}_{k}}:R\to R}$ με $\displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1}$ , για την οποία ισχύει η σχέση : $\displaystyle{g(x)={g}'(x)+x}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in R}$ .
α) Να βρείτε την εφαπτόμενη ευθεία της $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ στο σημείο $\displaystyle{A(0,f(0))}$ .
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{{{g}_{k}}}$
γ) Αν $\displaystyle{{{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1}$ να βρείτε το $\displaystyle{k}$ ώστε η αντίστοιχη συνάρτηση $\displaystyle{{{g}_{k}}}$ να είναι πλάγια ασύμπτωτη των υπολοίπων στο $\displaystyle{-\infty }$ .
δ) i) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{k}$ ώστε η $\displaystyle{{{g}_{k}}}$ να έχει ολικό μέγιστο .
ii) Να δείξετε ότι για αυτές τις τιμές του $\displaystyle{k}$ , η $\displaystyle{{{C}_{g}}}$ είναι κάτω από την ασύμπτωτη .
ii) Nα δείξετε ότι τα σημεία της $\displaystyle{{{C}_{g}}}$ στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο ανήκουν στην ευθεία που βρήκατε στο (α) .

...Καλησπέρα στην παρέα, με μιά αντιμετώπιση στη δημιουργία του Γιώργη....

ΛΥΣΗ
α) Είναι ${f}'(x)=(x{{e}^{-x}}{)}'={{e}^{-x}}-x{{e}^{-x}},\,\,x\in R$ με $f(x)=0,\,\,{f}'(0)=1$ άρα η εφαπτόμενη ευθεία της

$\displaystyle{{{C}_{f}}}$ στο σημείο $\displaystyle{A(0,f(0))}$ είναι η y=x

β) Είναι $g(x)={g}'(x)+x\Leftrightarrow {g}'(x)-g(x)=-x\Leftrightarrow {{e}^{-x}}{g}'(x)-{{e}^{-x}}g(x)=-x{{e}^{-x}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{-x}}g(x) \right)}^{\prime }}={{\left( x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {{e}^{-x}}g(x)=x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}}+c$ ή

$\Leftrightarrow g(x)=x+1+c{{e}^{x}},\,\,x\in R$ και επειδή $\displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1}$ προκύπτει ότι c=k

επομένως ${{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1,\,\,x\in R$

γ) Για k=0

είναι ${{g}_{0}}(x)=x+1,\,\,x\in R$ και επειδή ${{g}_{k}}(x)-x-1=k{{e}^{x}},\,\,x\in R$ και

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{g}_{k}}(x)-x-1)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,k{{e}^{x}}=0$ η ${{g}_{0}}(x)=x+1,\,\,x\in R$

είναι ασύμπτωτη των συναρτήσεων $\displaystyle{{{g}_{k}}}$ στο $\displaystyle{-\infty }$

δ) i) Είναι ${{{g}'}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+1,\,\,x\in R$ Για να παρουσιάζει ακρότατο πρέπει αναγκαία η ${{{g}'}_{k}}(x)=0$ να έχει ρίζα, έτσι

$k{{e}^{x}}+1=0\Leftrightarrow k{{e}^{x}}=-1$ και επειδή για k=0

είναι αδύνατη αναγκαία $k\ne 0$ και τότε ${{e}^{x}}=-\frac{1}{k}$ και αν

$-\frac{1}{k}<0\Leftrightarrow k>0$ η εξίσωση είναι αδύνατη επομένως αναγκαία $-\frac{1}{k}>0\Leftrightarrow k<0$ και τότε ρίζα θα είναι

$x=\ln \left( -\frac{1}{k} \right)=-\ln (-k)$ και ${{{g}'}_{k}}(x)>0\Leftrightarrow x<-\ln (-k)$ άρα η ${{g}_{k}}$

θα είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα $(-\infty ,-\ln (-k)]$ και ${{{g}'}_{k}}(x)<0\Leftrightarrow x>-\ln (-k)$

άρα η ${{g}_{k}}$ θα είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $[-\ln (-k),\,\,+\infty )$ άρα θα έχει ολικό μέγιστο στο $x=-\ln (-k)$

ii) Θέλουμε να ισχύει ότι ${{g}_{k}}(x)<x+1\Leftrightarrow k{{e}^{x}}+x+1<x+1\Leftrightarrow k{{e}^{x}}<0$ που ισχύει επειδή k<0

iii) Τα σημεία της $\displaystyle{{{C}_{g}}}$ στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο είναι τα $K(-\ln (-k),\,\,g(-\ln (-k)),\,\,\,k<0$ και επειδή

${{g}_{k}}(-\ln (-k))=k{{e}^{-\ln (-k)}}-\ln (-k)+1=\frac{k}{{{e}^{\ln (-k)}}}-\ln (-k)+1=-1-\ln (-k)+1$

τα σημεία $K(-\ln (-k),\,\,-\ln (-k)),\,\,\,k<0$ που προφανώς ανήκουν στην ευθεία y=x

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Οικογενειακή ασύμπτωτη

Οικογενειακή ασύμπτωτη

Re: Οικογενειακή ασύμπτωτη

Μέλη σε σύνδεση