Οικογενειακή ασύμπτωτη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Οικογενειακή ασύμπτωτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 20, 2017 4:31 pm

Δίνεται o αριθμός \displaystyle{k\in R}και οι συναρτήσεις \displaystyle{f:R\to R} με τύπο \displaystyle{f(x)=x{{e}^{-x}}}
και \displaystyle{{{g}_{k}}:R\to R} με \displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1}, για την οποία ισχύει η σχέση : \displaystyle{g(x)={g}'(x)+x}, για κάθε \displaystyle{x\in R}.
α) Να βρείτε την εφαπτόμενη ευθεία της \displaystyle{{{C}_{f}}} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))}.
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle{{{g}_{k}}}
γ) Αν \displaystyle{{{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1} να βρείτε το \displaystyle{k} ώστε η αντίστοιχη συνάρτηση \displaystyle{{{g}_{k}}} να είναι πλάγια ασύμπτωτη των υπολοίπων στο \displaystyle{-\infty } .
δ) i) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle{k} ώστε η \displaystyle{{{g}_{k}}} να έχει ολικό μέγιστο .
ii) Να δείξετε ότι για αυτές τις τιμές του \displaystyle{k}, η \displaystyle{{{C}_{g}}} είναι κάτω από την ασύμπτωτη .
ii) Nα δείξετε ότι τα σημεία της \displaystyle{{{C}_{g}}} στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο ανήκουν στην ευθεία που βρήκατε στο (α) .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Οικογενειακή ασύμπτωτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Ιουν 20, 2017 11:19 pm

exdx έγραψε:Δίνεται o αριθμός \displaystyle{k\in R}και οι συναρτήσεις \displaystyle{f:R\to R} με τύπο \displaystyle{f(x)=x{{e}^{-x}}}
και \displaystyle{{{g}_{k}}:R\to R} με \displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1}, για την οποία ισχύει η σχέση : \displaystyle{g(x)={g}'(x)+x}, για κάθε \displaystyle{x\in R}.
α) Να βρείτε την εφαπτόμενη ευθεία της \displaystyle{{{C}_{f}}} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))}.
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle{{{g}_{k}}}
γ) Αν \displaystyle{{{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1} να βρείτε το \displaystyle{k} ώστε η αντίστοιχη συνάρτηση \displaystyle{{{g}_{k}}} να είναι πλάγια ασύμπτωτη των υπολοίπων στο \displaystyle{-\infty } .
δ) i) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle{k} ώστε η \displaystyle{{{g}_{k}}} να έχει ολικό μέγιστο .
ii) Να δείξετε ότι για αυτές τις τιμές του \displaystyle{k}, η \displaystyle{{{C}_{g}}} είναι κάτω από την ασύμπτωτη .
ii) Nα δείξετε ότι τα σημεία της \displaystyle{{{C}_{g}}} στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο ανήκουν στην ευθεία που βρήκατε στο (α) .
...Καλησπέρα στην παρέα, με μιά αντιμετώπιση στη δημιουργία του Γιώργη....

ΛΥΣΗ
α) Είναι {f}'(x)=(x{{e}^{-x}}{)}'={{e}^{-x}}-x{{e}^{-x}},\,\,x\in R με f(x)=0,\,\,{f}'(0)=1 άρα η εφαπτόμενη ευθεία της

\displaystyle{{{C}_{f}}} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))} είναι η y=x

β) Είναι g(x)={g}'(x)+x\Leftrightarrow {g}'(x)-g(x)=-x\Leftrightarrow {{e}^{-x}}{g}'(x)-{{e}^{-x}}g(x)=-x{{e}^{-x}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{-x}}g(x) \right)}^{\prime }}={{\left( x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {{e}^{-x}}g(x)=x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}}+c ή

\Leftrightarrow g(x)=x+1+c{{e}^{x}},\,\,x\in R και επειδή \displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1} προκύπτει ότι c=k επομένως {{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1,\,\,x\in R

γ) Για k=0 είναι {{g}_{0}}(x)=x+1,\,\,x\in R και επειδή {{g}_{k}}(x)-x-1=k{{e}^{x}},\,\,x\in R και

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{g}_{k}}(x)-x-1)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,k{{e}^{x}}=0 η {{g}_{0}}(x)=x+1,\,\,x\in R

είναι ασύμπτωτη των συναρτήσεων \displaystyle{{{g}_{k}}} στο \displaystyle{-\infty }

δ) i) Είναι {{{g}'}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+1,\,\,x\in RΓια να παρουσιάζει ακρότατο πρέπει αναγκαία η {{{g}'}_{k}}(x)=0 να έχει ρίζα, έτσι

k{{e}^{x}}+1=0\Leftrightarrow k{{e}^{x}}=-1 και επειδή για k=0 είναι αδύνατη αναγκαία k\ne 0 και τότε {{e}^{x}}=-\frac{1}{k}και αν

-\frac{1}{k}<0\Leftrightarrow k>0 η εξίσωση είναι αδύνατη επομένως αναγκαία -\frac{1}{k}>0\Leftrightarrow k<0 και τότε ρίζα θα είναι

x=\ln \left( -\frac{1}{k} \right)=-\ln (-k) και {{{g}'}_{k}}(x)>0\Leftrightarrow x<-\ln (-k)άρα η {{g}_{k}}

θα είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα (-\infty ,-\ln (-k)]και {{{g}'}_{k}}(x)<0\Leftrightarrow x>-\ln (-k)

άρα η {{g}_{k}} θα είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [-\ln (-k),\,\,+\infty ) άρα θα έχει ολικό μέγιστο στο x=-\ln (-k)

ii) Θέλουμε να ισχύει ότι {{g}_{k}}(x)<x+1\Leftrightarrow k{{e}^{x}}+x+1<x+1\Leftrightarrow k{{e}^{x}}<0 που ισχύει επειδή k<0

iii) Τα σημεία της \displaystyle{{{C}_{g}}} στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο είναι τα K(-\ln (-k),\,\,g(-\ln (-k)),\,\,\,k<0 και επειδή

{{g}_{k}}(-\ln (-k))=k{{e}^{-\ln (-k)}}-\ln (-k)+1=\frac{k}{{{e}^{\ln (-k)}}}-\ln (-k)+1=-1-\ln (-k)+1

τα σημεία K(-\ln (-k),\,\,-\ln (-k)),\,\,\,k<0 που προφανώς ανήκουν στην ευθεία y=x

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες