Σελίδα 1 από 1

Οικογενειακή ασύμπτωτη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 20, 2017 4:31 pm
από exdx
Δίνεται o αριθμός \displaystyle{k\in R}και οι συναρτήσεις \displaystyle{f:R\to R} με τύπο \displaystyle{f(x)=x{{e}^{-x}}}
και \displaystyle{{{g}_{k}}:R\to R} με \displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1}, για την οποία ισχύει η σχέση : \displaystyle{g(x)={g}'(x)+x}, για κάθε \displaystyle{x\in R}.
α) Να βρείτε την εφαπτόμενη ευθεία της \displaystyle{{{C}_{f}}} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))}.
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle{{{g}_{k}}}
γ) Αν \displaystyle{{{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1} να βρείτε το \displaystyle{k} ώστε η αντίστοιχη συνάρτηση \displaystyle{{{g}_{k}}} να είναι πλάγια ασύμπτωτη των υπολοίπων στο \displaystyle{-\infty } .
δ) i) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle{k} ώστε η \displaystyle{{{g}_{k}}} να έχει ολικό μέγιστο .
ii) Να δείξετε ότι για αυτές τις τιμές του \displaystyle{k}, η \displaystyle{{{C}_{g}}} είναι κάτω από την ασύμπτωτη .
ii) Nα δείξετε ότι τα σημεία της \displaystyle{{{C}_{g}}} στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο ανήκουν στην ευθεία που βρήκατε στο (α) .

Re: Οικογενειακή ασύμπτωτη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 20, 2017 11:19 pm
από KAKABASBASILEIOS
exdx έγραψε:Δίνεται o αριθμός \displaystyle{k\in R}και οι συναρτήσεις \displaystyle{f:R\to R} με τύπο \displaystyle{f(x)=x{{e}^{-x}}}
και \displaystyle{{{g}_{k}}:R\to R} με \displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1}, για την οποία ισχύει η σχέση : \displaystyle{g(x)={g}'(x)+x}, για κάθε \displaystyle{x\in R}.
α) Να βρείτε την εφαπτόμενη ευθεία της \displaystyle{{{C}_{f}}} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))}.
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle{{{g}_{k}}}
γ) Αν \displaystyle{{{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1} να βρείτε το \displaystyle{k} ώστε η αντίστοιχη συνάρτηση \displaystyle{{{g}_{k}}} να είναι πλάγια ασύμπτωτη των υπολοίπων στο \displaystyle{-\infty } .
δ) i) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle{k} ώστε η \displaystyle{{{g}_{k}}} να έχει ολικό μέγιστο .
ii) Να δείξετε ότι για αυτές τις τιμές του \displaystyle{k}, η \displaystyle{{{C}_{g}}} είναι κάτω από την ασύμπτωτη .
ii) Nα δείξετε ότι τα σημεία της \displaystyle{{{C}_{g}}} στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο ανήκουν στην ευθεία που βρήκατε στο (α) .
...Καλησπέρα στην παρέα, με μιά αντιμετώπιση στη δημιουργία του Γιώργη....

ΛΥΣΗ
α) Είναι {f}'(x)=(x{{e}^{-x}}{)}'={{e}^{-x}}-x{{e}^{-x}},\,\,x\in R με f(x)=0,\,\,{f}'(0)=1 άρα η εφαπτόμενη ευθεία της

\displaystyle{{{C}_{f}}} στο σημείο \displaystyle{A(0,f(0))} είναι η y=x

β) Είναι g(x)={g}'(x)+x\Leftrightarrow {g}'(x)-g(x)=-x\Leftrightarrow {{e}^{-x}}{g}'(x)-{{e}^{-x}}g(x)=-x{{e}^{-x}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{-x}}g(x) \right)}^{\prime }}={{\left( x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {{e}^{-x}}g(x)=x{{e}^{-x}}+{{e}^{-x}}+c ή

\Leftrightarrow g(x)=x+1+c{{e}^{x}},\,\,x\in R και επειδή \displaystyle{{{g}_{k}}(0)=k+1} προκύπτει ότι c=k επομένως {{g}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+x+1,\,\,x\in R

γ) Για k=0 είναι {{g}_{0}}(x)=x+1,\,\,x\in R και επειδή {{g}_{k}}(x)-x-1=k{{e}^{x}},\,\,x\in R και

\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,({{g}_{k}}(x)-x-1)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,k{{e}^{x}}=0 η {{g}_{0}}(x)=x+1,\,\,x\in R

είναι ασύμπτωτη των συναρτήσεων \displaystyle{{{g}_{k}}} στο \displaystyle{-\infty }

δ) i) Είναι {{{g}'}_{k}}(x)=k{{e}^{x}}+1,\,\,x\in RΓια να παρουσιάζει ακρότατο πρέπει αναγκαία η {{{g}'}_{k}}(x)=0 να έχει ρίζα, έτσι

k{{e}^{x}}+1=0\Leftrightarrow k{{e}^{x}}=-1 και επειδή για k=0 είναι αδύνατη αναγκαία k\ne 0 και τότε {{e}^{x}}=-\frac{1}{k}και αν

-\frac{1}{k}<0\Leftrightarrow k>0 η εξίσωση είναι αδύνατη επομένως αναγκαία -\frac{1}{k}>0\Leftrightarrow k<0 και τότε ρίζα θα είναι

x=\ln \left( -\frac{1}{k} \right)=-\ln (-k) και {{{g}'}_{k}}(x)>0\Leftrightarrow x<-\ln (-k)άρα η {{g}_{k}}

θα είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα (-\infty ,-\ln (-k)]και {{{g}'}_{k}}(x)<0\Leftrightarrow x>-\ln (-k)

άρα η {{g}_{k}} θα είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [-\ln (-k),\,\,+\infty ) άρα θα έχει ολικό μέγιστο στο x=-\ln (-k)

ii) Θέλουμε να ισχύει ότι {{g}_{k}}(x)<x+1\Leftrightarrow k{{e}^{x}}+x+1<x+1\Leftrightarrow k{{e}^{x}}<0 που ισχύει επειδή k<0

iii) Τα σημεία της \displaystyle{{{C}_{g}}} στα οποία παρουσιάζεται το μέγιστο είναι τα K(-\ln (-k),\,\,g(-\ln (-k)),\,\,\,k<0 και επειδή

{{g}_{k}}(-\ln (-k))=k{{e}^{-\ln (-k)}}-\ln (-k)+1=\frac{k}{{{e}^{\ln (-k)}}}-\ln (-k)+1=-1-\ln (-k)+1

τα σημεία K(-\ln (-k),\,\,-\ln (-k)),\,\,\,k<0 που προφανώς ανήκουν στην ευθεία y=x

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης