Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Ιούλ 18, 2017 2:14 pm

Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο αριθμό k, για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{f(x)=e^{x}} και \displaystyle{\textup{g}(x)=k\left | x \right |} έχουν ακριβώς τρία κοινά σημεία.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11918
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιούλ 18, 2017 2:42 pm

Τρίτομο.png
Τρίτομο.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές
Για k=e έχουμε δύο κοινά σημεία ( αφού ο ανερχόμενος

κλάδος της g εφάπτεται της f . Άρα θέλουμε k>e , δηλαδή k=3


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Ιούλ 18, 2017 2:48 pm

KARKAR έγραψε:Τρίτομο.png Για k=e έχουμε δύο κοινά σημεία ( αφού ο ανερχόμενος

κλάδος της g εφάπτεται της f . Άρα θέλουμε k>e , δηλαδή k=3
Σωστά.

Η λύση που έχω ξεκινά και με περιπτώσεις. Να ρωτήσω, όμως, αν χρειάζεται επαλήθευση για την τιμή του k.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11918
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιούλ 18, 2017 3:10 pm

Αν το ερώτημα αφορά στο αν για k>2 , έχουμε όντως δύο ακριβώς σημεία τομής ,

η απάντηση είναι ότι έχουμε αφ'ενός τουλάχιστον δύο ( γιατί ; ) , αφ'ετέρου το πολύ δύο .

Πράγματι αν θεωρήσουμε την h(x)=e^x-kx , αυτή έχει h''(x)>0 ( κυρτή ) , οπότε

δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο ρίζες ...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12666
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 18, 2017 3:16 pm

M.S.Vovos έγραψε:Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο αριθμό k, για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \displaystyle{f(x)=e^{x}} και \displaystyle{\textup{g}(x)=k\left | x \right |} έχουν ακριβώς τρία κοινά σημεία.
Απάντηση: k=3.

Τα e^x, k|x| πάντα τέμνονται ακριβώς μία φορά όταν x\le 0 (απλό). Άρα ψάχνουμε το μικρότερο θετικό ακέραιο k που τα e^x, kx τεμνονται ακριβώς δύο φορές αν x>0.

Σίγουρα k\ne 1 και k\ne 2 καθώς τότε τα e^x, k|x| δεν τέμνονται καθόλου: Είναι e^x-2x > (1+x+ \frac {x^2}{2} )-2x  = (1-\frac {x}{2} )^ 2 + \frac {x^2}{4} >0.

Τώρα για k=3 εύκολα βλέπουμε από Bolzano ότι έχουμε τουλάχιστον δύο ρίζες, στα [0,1], [1,2] , αλλά αφού η παράγωγος e^x-3 μηδενίζεται μία φορά, ο Rolle μας λέει ότι έχουμε ακριβώς δύο ρίζες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: R BORIS και 2 επισκέπτες