Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

M.S.Vovos · #1

Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο αριθμό

, για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{f(x)=e^{x}}$ και $\displaystyle{\textup{g}(x)=k\left | x \right |}$ έχουν ακριβώς τρία κοινά σημεία.

Φιλικά,
Μάριος

KARKAR · #2

: Τρίτομο.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Για

έχουμε δύο κοινά σημεία ( αφού ο ανερχόμενος

κλάδος της

εφάπτεται της

. Άρα θέλουμε k>e

, δηλαδή

M.S.Vovos · #3

KARKAR έγραψε:Τρίτομο.png Για έχουμε δύο κοινά σημεία ( αφού ο ανερχόμενος

κλάδος της εφάπτεται της . Άρα θέλουμε , δηλαδή

Σωστά.

Η λύση που έχω ξεκινά και με περιπτώσεις. Να ρωτήσω, όμως, αν χρειάζεται επαλήθευση για την τιμή του

.

Φιλικά.

KARKAR · #4

Αν το ερώτημα αφορά στο αν για k>2

, έχουμε όντως δύο ακριβώς σημεία τομής ,

η απάντηση είναι ότι έχουμε αφ'ενός τουλάχιστον δύο ( γιατί ; ) , αφ'ετέρου το πολύ δύο .

Πράγματι αν θεωρήσουμε την h(x)=e^x-kx

, αυτή έχει h''(x)>0

( κυρτή ) , οπότε

δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο ρίζες ...

#5

M.S.Vovos έγραψε:Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο αριθμό , για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{f(x)=e^{x}}$ και $\displaystyle{\textup{g}(x)=k\left | x \right |}$ έχουν ακριβώς τρία κοινά σημεία.

Απάντηση:

.

Τα

πάντα τέμνονται ακριβώς μία φορά όταν $x\le 0$ (απλό). Άρα ψάχνουμε το μικρότερο θετικό ακέραιο

που τα

τεμνονται ακριβώς δύο φορές αν x>0

.

Σίγουρα $k\ne 1$ και $k\ne 2$ καθώς τότε τα e^x, k|x|

δεν τέμνονται καθόλου: Είναι $e^x-2x > (1+x+ \frac {x^2}{2} )-2x = (1-\frac {x}{2} )^ 2 + \frac {x^2}{4} >0$ .

Τώρα για k=3

εύκολα βλέπουμε από Bolzano ότι έχουμε τουλάχιστον δύο ρίζες, στα [0,1], [1,2]

, αλλά αφού η παράγωγος e^x-3

μηδενίζεται μία φορά, ο Rolle μας λέει ότι έχουμε ακριβώς δύο ρίζες.

Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

Re: Ελάχιστος θετικός ακέραιος...

Μέλη σε σύνδεση