Ελάχιστη τιμή φυσικού...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Ελάχιστη τιμή φυσικού...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Ιούλ 29, 2017 6:26 pm

Έστω ο αριθμός m\in \mathbb{N} και η πολυωνυμική συνάρτηση \displaystyle{Q(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{m}}, x\in \mathbb{R}. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αριθμού m, ώστε η εξίσωση \displaystyle{Q(x)=e^{x}}, x\in \mathbb{R} να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 353
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ελάχιστη τιμή φυσικού...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Αύγ 02, 2017 11:38 pm

M.S.Vovos έγραψε:Έστω ο αριθμός m\in \mathbb{N} και η πολυωνυμική συνάρτηση \displaystyle{Q(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{m}}, x\in \mathbb{R}. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αριθμού m, ώστε η εξίσωση \displaystyle{Q(x)=e^{x}}, x\in \mathbb{R} να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=Q(x)-e^x , παραγωγίσιμη ... όσες φορές θέλουμε!
Αν έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες θα ισχύουν τα εξής:
Εφαρμόζοντας 2 φορές το Θ. Rolle στην f , στα διαστήματα που ορίζουν οι τρεις ρίζες, θα βρούμε τουλάχιστον δύο ρίζες της f'.
Συνεχίζοντας με Θ. Rolle στην f' , στο διάστημα που ορίζουν οι δυο ρίζες, θα βρούμε τουλάχιστον μία ρίζα της f''.
Ξεκινάμε, λοιπόν, θεωρώντας m=2. Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε : f(x)= 1+x+x^2 -e^x , f'(x)= 1+2x -e^x και f''(x)= 2 -e^x .
Έτσι προκύπτει το παρακάτω πινακάκι.
ΠΙΝΑΚΑΣ 1.png
ΠΙΝΑΚΑΣ 1.png (36.97 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές
Παρατηρούμε ότι εδώ μία ρίζα της f είναι το f(0)=0 η οποία είναι τοπικό ελάχιστο.
Η άλλη ρίζα που προκύπτει είναι η r, διότι η f στο x_1 , παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και μάλιστα επειδή f(1)= 3-e>0 είναι x_1>1 και φυσικά f(x_1) >0.
Επίσης για να τεκμηριώσουμε σύνολα τιμών στον παραπάνω πίνακα εύκολα υπολογίζουμε τα όρια :\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 1+x+x^2 -e^x \right ) =+\infty ,
αφού \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( 1+x+x^2 \right ) =+\infty και \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } e^x = 0 .
Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } f'(x)= -\infty .
Τώρα έχουμε για το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 1+x+x^2 -e^x \right ) =\lim_{x\rightarrow +\infty } \left [ e^x\left ( \dfrac{1}{e^x} +\frac{x}{e^x} +\frac{x^2}{e^x}-1\right ) \right ] =-\infty ,
διότι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{e^x}= \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x}{e^x} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^2}{e^x} =0. (Τα δύο τελευταία όρια προκύπτουν με κανόνα de L' Hospital) .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες .
Συνεπώς η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.

Για m=3, έχουμε : f(x)= 1+x+x^2 +x^3-e^x , f'(x)= 1+2x+3x^2 -e^x , f''(x)= 2 +6x-e^x και f'''(x)=  6-e^x .
Εχουμε τώρα τον εξής πίνακα:
ΠΙΝΑΚΑΣ 2.png
ΠΙΝΑΚΑΣ 2.png (22.4 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές
Τώρα παρατηρούμε ότι f\left (-\frac{1}{2} \right )=\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{\sqrt{e}}>0, διότι
\dfrac{5}{8}>\sqrt{\dfrac{1}{e}}\Leftrightarrow \dfrac{25}{64}>\dfrac{1}{e}\Leftrightarrow e>\dfrac{64}{25}\approx2,56 , το οποίο ισχύει.
Από το παραπάνω πινακάκι παρατηρούμε ότι στο διάστημα (-\infty ,r_{1}) η f παρουσιάζει στην θέση r_1 ,
ολικό μέγιστο το f(r_1)>0, αφού f\left (-\frac{1}{2} \right )>0 .

Επίσης η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (-\infty ,r_{1}].
Άρα f((-\infty ,r_{1}]) = (-\infty ,f(r_{1})] και επειδή το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών
συμπεραίνουμε (λόγω μονοτονίας) ότι η f έχει μοναδική ρίζα στο (-\infty ,r_{1}].

Επιπλέον στο [r_{1}, r_2] , η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, το f(0)=0 .
Συνεπώς το 0 είναι μοναδική ρίζα στο διάστημα αυτό.

Εύκολα όπως προηγουμένως f([r_{2} ,+\infty]) = (-\infty ,f(r_{2})] και επειδή το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών
συμπεραίνουμε (λόγω μονοτονίας) ότι η f έχει μοναδική ρίζα στο [r_{2} , +\infty ) .

Επομένως αποδείξαμε ότι η m=3 είναι η ελάχιστη τιμή ώστε η εξίσωση να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Ελάχιστη τιμή φυσικού...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Αύγ 03, 2017 6:55 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Έστω ο αριθμός m\in \mathbb{N} και η πολυωνυμική συνάρτηση \displaystyle{Q(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{m}}, x\in \mathbb{R}. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του αριθμού m, ώστε η εξίσωση \displaystyle{Q(x)=e^{x}}, x\in \mathbb{R} να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

Φιλικά,
Μάριος
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Σωστά :). Ωραίος πίνακας μεταβολών.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης