Πλήθος ριζών

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Πλήθος ριζών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Σεπ 03, 2017 4:45 pm

Να προσδιορίσετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
e^{x}=x^{3}+1, \hspace{2mm}x>0 Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Πλήθος ριζών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Σεπ 03, 2017 10:44 pm

\displaystyle{{{e}^{x}}={{x}^{3}}+1\Leftrightarrow {{e}^{-x}}({{x}^{3}}+1)-1=0}
Έστω : \displaystyle{f(x)={{e}^{-x}}({{x}^{3}}+1)-1\,\,,x\in R}
Τότε :\displaystyle{{f}'(x)={{e}^{-x}}(-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1)}
Έστω : \displaystyle{t(x)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1} με \displaystyle{{t}'(x)=-3{{x}^{2}}+6x=-3x(x-2)}
Τότε : \displaystyle{{t}'(x)>0\Leftrightarrow 0<x<2} και \displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,t(x)=+\infty ,t(0)=-1,t(2)=3,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,t(x)=-\infty }
Άρα η εξίσωση \displaystyle{t(x)=0} και επομένως η \displaystyle{{f}'(x)=0} έχει τρεις ακριβώς ρίζες
Άρα η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} θα έχει το πολύ τέσσερις ρίζες .
Επειδή
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 f( - 1) =  - 1 < 0,\,\,\,\,\,\,\,f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{7}{8}\sqrt e  - 1 > \frac{7}{8}\sqrt {2,25}  - 1 > 0,\,\,\,\, \\  
 \,f(0) = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f(1) = \frac{2}{e} - 1 < 0,\,\,\,f(2) = \frac{9}{{{e^2}}} - 1 > 0,f(3) = \frac{{28}}{{{e^3}}}\, - 1 > 0, \\  
 \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({e^{ - x}}({x^3} + 1) - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^3} + 1}}{{{e^x}}} - 1} \right) = .... =  - 1 < 0 \\  
 \end{array}}
(Στο όριο χρησιμοποιούμε τρεις φορές τον κανόνα De l’ Hospital )
η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες :
Μία στο \displaystyle{(-1,0)} , το \displaystyle{0}, μία στο \displaystyle{(1,2)} και μία στο \displaystyle{(2,+\infty )}
(Από Θεώρημα Bolzano στα αντίστοιχα διαστήματα , επειδή είναι συνεχής )
Τελικά η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} έχει τέσσερις ακριβώς ρίζες

Υ.Γ. Τώρα είδα ότι \displaystyle{x > 0}
Έτσι στο \displaystyle{(0, + \infty )} έχει ακριβώς δυο ρίζες


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης