Με ημίτονο και μονοτονία...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Με ημίτονο και μονοτονία...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Σεπ 13, 2017 6:50 pm

Δίνεται η συνάρτηση: \displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle \frac{\pi -x}{\sin x}, &(0,\pi )\cup (\pi ,2\pi ) \\\\  
1, &x=\pi   
\end{matrix}\right.}

Είναι η \displaystyle{f} κυρτή στο πεδίο ορισμού της;

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Σεπ 15, 2017 12:09 pm

Είναι : \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\pi -x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )  \\ 
   1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi   \\ 
\end{matrix} \right.
Επειδή \displaystyle \frac{\pi -x}{\sin x}=\frac{\pi -x}{\sin (\pi -x)}, η \displaystyle f έχει προέλθει από μια οριζόντια μεταφορά κατά \displaystyle \pi προς τα δεξιά της
\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{x}{\sin x},x\in (-\pi ,0)\cup (0,\pi )  \\ 
   1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.
Αρκεί να μελετηθεί η κυρτότητα της \displaystyle g
Επειδή \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1
η \displaystyle gείναι συνεχής στο \displaystyle 0 και τελικά συνεχής στο \displaystyle (-\pi ,\pi )
Η \displaystyle gείναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα \displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )
με \displaystyle {g}'(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}
Στο \displaystyle x=0 η \displaystyle gείναι παραγωγίσιμη διότι

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{x}{\sin x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sin x}{x\sin x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{\sin x+x\cos x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{2\cos x-\sin x}=0 \displaystyle (*)

Η \displaystyle {g}'είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα \displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )
με \displaystyle {g}''(x)=\frac{2x{{\cos }^{2}}x-2\cos x\sin x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}

Έστω \displaystyle r(x)=x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x,\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi ) με \displaystyle r(0)=0 και
\displaystyle {r}'(x)=3{{\sin }^{2}}x-2x\sin x\cos x=\sin x(3\sin x-2x\cos x),\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi ) και \displaystyle {r}'(0)=0
Είναι \displaystyle \sin x<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle \sin x>0,x\in (0,\pi ) \displaystyle (1)

Έστω \displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x.
Τότε \displaystyle t(x)<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle t(x)>0,x\in (0,\pi ) , \displaystyle (2)
σύμφωνα με τη δημοσίευση εδώ
Από \displaystyle (1), \displaystyle (2) έχουμε \displaystyle {r}'(x)\ge 0 στο \displaystyle (-\pi ,\pi ) .
Άρα η \displaystyle r είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle (-\pi ,\pi )κι αφού \displaystyle r(0)=0 έχουμε ότι \displaystyle r(x)<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle r(x)>0,x\in (0,\pi ) \displaystyle (3)
Ακόμα είναι : \displaystyle {{\sin }^{3}}x<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle {{\sin }^{3}}x>0,x\in (0,\pi ) \displaystyle (4)
Από \displaystyle (3), \displaystyle (4), \displaystyle (*) έχουμε \displaystyle {g}''(x)\ge 0 στο \displaystyle (-\pi ,\pi ) .
Άρα η \displaystyle g και επομένως η \displaystyle f είναι κυρτή .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Σεπ 15, 2017 1:06 pm

exdx έγραψε:
Παρ Σεπ 15, 2017 12:09 pm
Είναι : \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{\pi -x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )  \\ 
   1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi   \\ 
\end{matrix} \right.
Επειδή \displaystyle \frac{\pi -x}{\sin x}=\frac{\pi -x}{\sin (\pi -x)}, η \displaystyle f έχει προέλθει από μια οριζόντια μεταφορά κατά \displaystyle \pi προς τα δεξιά της
\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{x}{\sin x},x\in (-\pi ,0)\cup (0,\pi )  \\ 
   1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=0  \\ 
\end{matrix} \right.
Αρκεί να μελετηθεί η κυρτότητα της \displaystyle g
Επειδή \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1
η \displaystyle gείναι συνεχής στο \displaystyle 0 και τελικά συνεχής στο \displaystyle (-\pi ,\pi )
Η \displaystyle gείναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα \displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )
με \displaystyle {g}'(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}
Στο \displaystyle x=0 η \displaystyle gείναι παραγωγίσιμη διότι

\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{x}{\sin x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-\sin x}{x\sin x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{\sin x+x\cos x}\overset{0/0}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{2\cos x-\sin x}=0 \displaystyle (*)

Η \displaystyle {g}'είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα \displaystyle (-\pi ,0),(0,\pi )
με \displaystyle {g}''(x)=\frac{2x{{\cos }^{2}}x-2\cos x\sin x+x{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}=\frac{x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x}{{{\sin }^{3}}x}

Έστω \displaystyle r(x)=x({{\cos }^{2}}x+1)-2\cos x\sin x,\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi ) με \displaystyle r(0)=0 και
\displaystyle {r}'(x)=3{{\sin }^{2}}x-2x\sin x\cos x=\sin x(3\sin x-2x\cos x),\,\,\,\,x\in (-\pi ,\pi ) και \displaystyle {r}'(0)=0
Είναι \displaystyle \sin x<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle \sin x>0,x\in (0,\pi ) \displaystyle (1)

Έστω \displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x.
Τότε \displaystyle t(x)<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle t(x)>0,x\in (0,\pi ) , \displaystyle (2)
σύμφωνα με τη δημοσίευση εδώ
Από \displaystyle (1), \displaystyle (2) έχουμε \displaystyle {r}'(x)\ge 0 στο \displaystyle (-\pi ,\pi ) .
Άρα η \displaystyle r είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle (-\pi ,\pi )κι αφού \displaystyle r(0)=0 έχουμε ότι \displaystyle r(x)<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle r(x)>0,x\in (0,\pi ) \displaystyle (3)
Ακόμα είναι : \displaystyle {{\sin }^{3}}x<0,x\in (-\pi ,0)και \displaystyle {{\sin }^{3}}x>0,x\in (0,\pi ) \displaystyle (4)
Από \displaystyle (3), \displaystyle (4), \displaystyle (*) έχουμε \displaystyle {g}''(x)\ge 0 στο \displaystyle (-\pi ,\pi ) .
Άρα η \displaystyle g και επομένως η \displaystyle f είναι κυρτή .
Όμορφη λύση. Η δικιά μου αντιμετώπιση, δεν έχει την μετατόπιση της γραφικής παράστασης, που απλουστεύει τα πράγματα αρκετά.

Θα ήθελα να ρωτήσω:

Πόσο και πώς θα βαθμολογούσαμε το εν λόγω ερώτημα; Το θέλω για διαγώνισμα γι' αυτό ρωτάω.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Σεπ 15, 2017 1:45 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 15, 2017 1:06 pm


Πόσο και πώς θα βαθμολογούσαμε το εν λόγω ερώτημα; Το θέλω για διαγώνισμα γι' αυτό ρωτάω.

Φιλικά,
Μάριος
Νομίζω ότι βγαίνει ολόκληρο θέμα . Κάπως έτσι :

α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση
\displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x,\,\,x\in [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 6 )

β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημο της
\displaystyle g(x)=x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x, \displaystyle x\in [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 8 )

γ) Έστω \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )  \\ 
   1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi   \\ 
\end{matrix} \right.
i) Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο \displaystyle [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 3 )

ii) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 8 )


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Με ημίτονο και μονοτονία...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Σεπ 15, 2017 2:51 pm

exdx έγραψε:
Παρ Σεπ 15, 2017 1:45 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Σεπ 15, 2017 1:06 pm


Πόσο και πώς θα βαθμολογούσαμε το εν λόγω ερώτημα; Το θέλω για διαγώνισμα γι' αυτό ρωτάω.

Φιλικά,
Μάριος
Νομίζω ότι βγαίνει ολόκληρο θέμα . Κάπως έτσι :

α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση
\displaystyle t(x)=3\sin x-2x\cos x,\,\,x\in [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 6 )

β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημο της
\displaystyle g(x)=x(2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)-2\cos x\sin x, \displaystyle x\in [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 8 )

γ) Έστω \displaystyle f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   \frac{x}{\sin x},x\in (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )  \\ 
   1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=\pi   \\ 
\end{matrix} \right.
i) Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο \displaystyle [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 3 )

ii) Να αποδείξετε ότι είναι κυρτή στο \displaystyle [-\pi ,\pi ] ( Μονάδες 8 )
Ευχαριστώ πολύ! :coolspeak:


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες