Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Οκτ 11, 2017 1:26 pm

Έστω οι αριθμοί \alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}, \beta >0 τέτοιοι, ώστε \displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e} και η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}}, η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x_{1}=-2.

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και τις τιμές των αριθμών \alpha ,\beta .

(β) Να προσδιορίσετε τις παράγουσες της f και στη συνέχεια, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες, έστω F, που διέρχεται από το σημείο A(1,e).

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία (\varepsilon ):y=ex.

Φιλικά,
Μάριος
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Τετ Οκτ 11, 2017 3:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Οκτ 11, 2017 2:38 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Οκτ 11, 2017 1:26 pm
Έστω οι αριθμοί \alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}, \beta >0 τέτοιοι, ώστε \displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e} και η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}}, η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x_{1}=-2.

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και τις τιμές των αριθμών \alpha ,\beta .

(β) Να προσδιορίσετε τις παράγουσες της f και στη συνέχεια, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες, έστω F, που διέρχεται από το σημείο A(1,e).

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία (\varepsilon ):y=ex.

Φιλικά,
Μάριος
...για τα δύο πρώτα ερωτήματα προς το παρόν...

(α) Η \displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}} με \alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}, \beta >0 ορίζεται για κάθε x\in R,

και είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων με

{f}'(x)=a{{x}^{\alpha -1}}{{\beta }^{x}}+{{x}^{\alpha }}{{\beta }^{x}}\ln \beta ={{x}^{\alpha -1}}{{\beta }^{x}}(a+x\ln \beta )

και αφού παρουσιάζει ακρότατο στο x_{1}=-2 σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει ότι

{f}'(-2)=0\Leftrightarrow {{(-2)}^{\alpha -1}}{{\beta }^{-2}}(a-2\ln \beta )=0\Leftrightarrow \alpha =2\ln \beta (1) και αφού

\frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e}\Leftrightarrow \alpha =\frac{2\beta }{e} έχουμε από (1)

\frac{2\beta }{e}=2\ln \beta \Leftrightarrow \beta =e\ln \beta δηλαδή το \beta >0

είναι ρίζα της εξίσωσης x=elnx\Leftrightarrow x-elnx,x>0

Τώρα θεωρώντας την αντίστοιχη συνάρτηση g(x)=x-elnx,\,\,\,x>0 είναι παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x},\,\,\,x>0 και {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=e,\, και {g}'(x)>0\Leftrightarrow x>e,άρα η \,\,g

είναι γνήσια αύξουσα στο \,\,(0,\,\,e] και ακόμη \,\,{g}'(x)<0\Leftrightarrow x<e,άρα η \,\,g είναι γνήσια φθίνουσα στο

[e,\,\,\infty ) επομένως η \,\,g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x=eτο g(e)=0 οπότε το e είναι μοναδική της ρίζα, άρα

\beta =e και από \alpha =\frac{2\beta }{e} προκύπτει ότι \alpha =2

(β) Για τον προσδιορισμό των παραγουσών της f(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}},\,\,x\in R χρησιμοποιώντας απαγορευμένα...

( παραγοντική με μεταβλητό άκρο και σταθερό κάτω , έστω το 0 εδώ, στο ολοκλήρωμα συνάρτηση \int\limits_{0}^{x}{{{t}^{2}}{{e}^{t}}dt}…)

προκύπτουν από αυτήν οι F(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}}-2+c,\,\,c\in Rκαι αυτή που περνάει από το A(1,e)

είναι όταν F(1)=e\Leftrightarrow e-2e+2e-2+c=e\Leftrightarrow c=2 άρα η F(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}},\,\,x\in R

...έχει και συνέχεια...

...και μετά την διόρθωση του Μάριου....

(γ) Η ευθεία (\varepsilon ):y=ex είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της F(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}}-2x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}},\,\,x\in R

στο σημείο της A(1,e) και αφού είναι {F}'(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}} και άρα {F}'(1)=e και η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων.

Τώρα επειδή {F}''(x)=({{x}^{2}}{{e}^{x}}{)}'=2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}}=x(2+x){{e}^{x}}>0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-2)\cup (0,\,\,+\infty )

η F είναι κυρτή στο [0,\,\,+\infty ) επομένως η εφαπτομένη της στο A(1,e) θα είναι κάτω από την γραφική της παράσταση στο διάστημα

[0,\,\,+\infty ), επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι

E=\int\limits_{0}^{1}{(F(x)-y)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(({{x}^{2}}-2x+2){{e}^{x}}-ex)dx}=...=e-\frac{e}{2}
(…με παραγοντική και αν οι πράξεις μου είναι οκ…)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Fermat - Παράγουσες - Εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Οκτ 11, 2017 3:03 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Οκτ 11, 2017 1:26 pm
Έστω οι αριθμοί \alpha \in \mathbb{N}-\left \{ 0,1 \right \}, \beta >0 τέτοιοι, ώστε \displaystyle \frac{\alpha }{\beta }=\frac{2}{e} και η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^{\alpha }\beta ^{x}}, η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x_{1}=-2.

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και τις τιμές των αριθμών \alpha ,\beta .

(β) Να προσδιορίσετε τις παράγουσες της f και στη συνέχεια, να βρείτε εκείνη από τις παράγουσες, έστω F, που διέρχεται από το σημείο A(1,e).

(γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία (\varepsilon ):y=ex.

Φιλικά,
Μάριος
*Διόρθωσα το τελευταίο ερώτημα. Ήθελα να γράψω την εφαπτομένη της F και έγραψα καταλάθος την εφαπτομένη της f.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες