Ρίζες λύσεων εξίσωσης

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2839
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Νοέμ 06, 2017 5:24 pm

Αν οι συναρτήσεις p, q είναι συνεχείς στο \mathbb{R} και f_1,f_2 είναι λύσεις της εξίσωσης \displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}, όπου f_1 \neq c \cdot f_2 όπου c σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f_1 υπάρχει μοναδική ρίζα της f_2.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3213
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Νοέμ 06, 2017 6:24 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 5:24 pm
Αν οι συναρτήσεις p, q είναι συνεχείς στο \mathbb{R} και f_1,f_2 είναι λύσεις της εξίσωσης \displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}, όπου f_1 \neq c \cdot f_2 όπου c σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f_1 υπάρχει μοναδική ρίζα της f_2.
Για λόγους ευκολίας σε κάποια σημεία θα παραλείπω τα x

Είναι f_{1}''+pf_{1}'+qf_{1}=0

και f_{2}''+pf_{2}'+qf_{2}=0

πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με f_{2} την δεύτερη με f_{1}

και αφαιρώντας προκύπτει

f_{2}f_{1}''-f_{1}f_{2}''+p(f_{2}f_{1}'-f_{1}f_{2}')=0

Θέτοντας w(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)

η προηγούμενη γίνεται w'(x)+p(x)w(x)=0

Αρα w(x)=de^{-\int p(x)dx}

Αν d=0 τότε προκύπτει ότι f_1 = c \cdot f_2

Αρα d\neq 0 οπότε f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)\neq 0 (1)στο \mathbb{R}

Εστω a,b δύο διαδοχικές ρίζες της f_{1}

Λόγω της (1) είναι f_{2}(a)\neq 0,f_{2}(b)\neq 0

Αν η f_{2} δεν έχει ρίζα στο (a,b) τότε ορίζεται η

h=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

Είναι h(a)=0=h(b)

οπότε από Rolle υπάρχει r\in (a,b)

με 0=h'(r)=\dfrac{f'_{1}(r)f_{2}(r)-f'_{2}(r)f_{1}(r)}{(f_{2}(r))^{2}}

ΑΤΟΠΟ λόγω της (1)

Αρα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f_{1} υπάρχει ρίζα της f_{2} .

Αυτή είναι μοναδική γιατί αν υπήρχαν δύο τότε αλλάζοντας τους ρόλους των f_{1} f_{2}

θα είχαμε ρίζα της f_{1} στο  (a,b) ΑΤΟΠΟ.


Σχόλιo.
Είναι γνωστό Θεώρημα των Διαφορικών Εξισώσεων(έχει και όνομα αλλά εγώ δεν το θυμάμαι)


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2839
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Νοέμ 07, 2017 11:33 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 6:24 pm
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 5:24 pm
Αν οι συναρτήσεις p, q είναι συνεχείς στο \mathbb{R} και f_1,f_2 είναι λύσεις της εξίσωσης \displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}, όπου f_1 \neq c \cdot f_2 όπου c σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f_1 υπάρχει μοναδική ρίζα της f_2.
Για λόγους ευκολίας σε κάποια σημεία θα παραλείπω τα x

Είναι f_{1}''+pf_{1}'+qf_{1}=0

και f_{2}''+pf_{2}'+qf_{2}=0

πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με f_{2} την δεύτερη με f_{1}

και αφαιρώντας προκύπτει

f_{2}f_{1}''-f_{1}f_{2}''+p(f_{2}f_{1}'-f_{1}f_{2}')=0

Θέτοντας w(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)

η προηγούμενη γίνεται w'(x)+p(x)w(x)=0

Αρα w(x)=de^{-\int p(x)dx}

Αν d=0 τότε προκύπτει ότι f_1 = c \cdot f_2

Αρα d\neq 0 οπότε f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)\neq 0 (1)στο \mathbb{R}

Εστω a,b δύο διαδοχικές ρίζες της f_{1}

Λόγω της (1) είναι f_{2}(a)\neq 0,f_{2}(b)\neq 0

Αν η f_{2} δεν έχει ρίζα στο (a,b) τότε ορίζεται η

h=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

Είναι h(a)=0=h(b)

οπότε από Rolle υπάρχει r\in (a,b)

με 0=h'(r)=\dfrac{f'_{1}(r)f_{2}(r)-f'_{2}(r)f_{1}(r)}{(f_{2}(r))^{2}}

ΑΤΟΠΟ λόγω της (1)

Αρα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f_{1} υπάρχει ρίζα της f_{2} .

Αυτή είναι μοναδική γιατί αν υπήρχαν δύο τότε αλλάζοντας τους ρόλους των f_{1} f_{2}

θα είχαμε ρίζα της f_{1} στο  (a,b) ΑΤΟΠΟ.


Σχόλιο.
Είναι γνωστό Θεώρημα των Διαφορικών Εξισώσεων(έχει και όνομα αλλά εγώ δεν το θυμάμαι)

1) Υπάρχει παρόμοιο θεώρημα και λέγεται θεώρημα Sturm. Έχει προφανώς άλλη εκφώνηση που αφορά φοιτητές.

2) Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι εδώ και κάτι χρόνια εκτός ύλης.

3) Στην προτελευταία γραμμή, είτε υπάρχει τυπογραφικό λάθος (μάλλον λείπει ένα κόμμα) είτε λάθος στη λύση.

4) Η λύση προφανώς και είναι ημιτελής αφού μας διαβάζουν μαθητές.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3213
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 08, 2017 12:02 am

Το θεώρημα είναι το
https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2% ... on_theorem


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3213
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 29, 2019 9:13 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Τρί Νοέμ 07, 2017 11:33 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 6:24 pm
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Δευ Νοέμ 06, 2017 5:24 pm
Αν οι συναρτήσεις p, q είναι συνεχείς στο \mathbb{R} και f_1,f_2 είναι λύσεις της εξίσωσης \displaystyle{f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=0}, όπου f_1 \neq c \cdot f_2 όπου c σταθερά, να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f_1 υπάρχει μοναδική ρίζα της f_2.
Για λόγους ευκολίας σε κάποια σημεία θα παραλείπω τα x

Είναι f_{1}''+pf_{1}'+qf_{1}=0

και f_{2}''+pf_{2}'+qf_{2}=0

πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με f_{2} την δεύτερη με f_{1}

και αφαιρώντας προκύπτει

f_{2}f_{1}''-f_{1}f_{2}''+p(f_{2}f_{1}'-f_{1}f_{2}')=0

Θέτοντας w(x)=f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)

η προηγούμενη γίνεται w'(x)+p(x)w(x)=0

Αρα w(x)=de^{-\int p(x)dx}

Αν d=0 τότε προκύπτει ότι f_1 = c \cdot f_2

Αρα d\neq 0 οπότε f_{1}'(x)f_{2}(x)-f_{2}'(x)f_{1}(x)\neq 0 (1)στο \mathbb{R}

Εστω a,b δύο διαδοχικές ρίζες της f_{1}

Λόγω της (1) είναι f_{2}(a)\neq 0,f_{2}(b)\neq 0

Αν η f_{2} δεν έχει ρίζα στο (a,b) τότε ορίζεται η

h=\dfrac{f_{1}}{f_{2}}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

Είναι h(a)=0=h(b)

οπότε από Rolle υπάρχει r\in (a,b)

με 0=h'(r)=\dfrac{f'_{1}(r)f_{2}(r)-f'_{2}(r)f_{1}(r)}{(f_{2}(r))^{2}}

ΑΤΟΠΟ λόγω της (1)

Αρα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f_{1} υπάρχει ρίζα της f_{2} .

Αυτή είναι μοναδική γιατί αν υπήρχαν δύο τότε αλλάζοντας τους ρόλους των f_{1} f_{2}

θα είχαμε ρίζα της f_{1} στο  (a,b) ΑΤΟΠΟ.


Σχόλιο.
Είναι γνωστό Θεώρημα των Διαφορικών Εξισώσεων(έχει και όνομα αλλά εγώ δεν το θυμάμαι)

1) Υπάρχει παρόμοιο θεώρημα και λέγεται θεώρημα Sturm. Έχει προφανώς άλλη εκφώνηση που αφορά φοιτητές.

2) Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι εδώ και κάτι χρόνια εκτός ύλης.

3) Στην προτελευταία γραμμή, είτε υπάρχει τυπογραφικό λάθος (μάλλον λείπει ένα κόμμα) είτε λάθος στη λύση.

4) Η λύση προφανώς και είναι ημιτελής αφού μας διαβάζουν μαθητές.
Πολύ θα ήθελα να δω μια λύση που να χρησιμοποιεί μόνο
ύλη σχολικών Μαθηματικών και να είναι πλήρης.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Ιούλ 30, 2019 1:07 pm

Δηλαδή αν στηριχθούμε εδώ:
DeepinScreenshot_select-area_20190730130042.png
DeepinScreenshot_select-area_20190730130042.png (27.32 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές
και μιλάω για την υποσημείωση στο τέλος, τότε ο Σταύρος αν είχε θεωρήσει  w(x)=de^{P(x)} αντί γιά w(x)=de^{-\int p(x)dx} , όπου P'(x)=p(x) για κάθε x \in \mathb R, όλα τώρα γίνονται νόμιμα.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3213
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζες λύσεων εξίσωσης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 30, 2019 8:17 pm

Christos.N έγραψε:
Τρί Ιούλ 30, 2019 1:07 pm
Δηλαδή αν στηριχθούμε εδώ:

DeepinScreenshot_select-area_20190730130042.png

και μιλάω για την υποσημείωση στο τέλος, τότε ο Σταύρος αν είχε θεωρήσει  w(x)=de^{P(x)} αντί γιά w(x)=de^{-\int p(x)dx} , όπου P'(x)=p(x) για κάθε x \in \mathb R, όλα τώρα γίνονται νόμιμα.
Γεια σου Χρήστο.
Υπάρχει και άλλο σημείο που για σχολική ύλη θέλει επεξήγηση


το
Αν d=0 τότε προκύπτει ότι f_1 = c \cdot f_2

Από θεωρία διαφορικών εξισώσεων είναι άμεσο.
Αλλά για σχολική απόδειξη δεν είναι τόσο εύκολο.

Συμπλήρωμα.
Η αρχική ανάρτηση
είναι το θεώρημα 9.3 με τίτλο'' Θεώρημα Διαχωρισμού του Sturm''
σελίδα 439 στο βιβλίο
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
των
Ν.Δ.Αλικάκος Γ.Η.Καλογερόπουλος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης