Μέγιστο άθροισμα τόξων

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1368
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Μέγιστο άθροισμα τόξων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Νοέμ 18, 2017 4:29 pm

Έστω ότι τα κέντρα \displaystyle O,\,\,K δύο κύκλων με ακτίνες \displaystyle R,\,\,\,r έχουν απόσταση \displaystyle d , με \displaystyle d>R+r.
Βρείτε σε ποιό σημείο της διακέντρου και ανάμεσα στους δύο κύκλους πρέπει να τοποθετηθεί μια σημειακή φωτεινή πηγή \displaystyle C ώστε να φωτίζει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο άθροισμα τόξων των δύο κύκλων.

Υ.Γ. Θα ήταν ενδιαφέρουσα και μια λύση με Γεωμετρία
Υ.Γ 2
α) Εκ των υστέρων είδα ότι η λύση με ανάλυση δεν είναι εφικτή αφού δεν μπορεί να εκφραστεί
το μήκος του τόξου μέσω του αποστήματος . Αν κάποιος βρεί τον τρόπο θα χαρώ πολύ .
β) Το ίδιο πρόβλημα λύνεται αν αντί για κύκλους θεωρήσουμε σφαίρες και αναζητήσουμε τη μέγιστη
δυνατή φωτιζόμενη επιφάνεια . αθροιστικά , των δύο σφαιρών .
γ) Για τους κύκλους μένει η Γεωμετρική λύση , αν υπάρχει τέτοια .
δ) Ζητώ συγνώμη απ΄αυτούς που ταλαιπώρησα .
Συνημμένα
2circles.png
2circles.png (19.9 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Κυρ Νοέμ 19, 2017 5:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7195
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 18, 2017 7:51 pm

exdx έγραψε:
Σάβ Νοέμ 18, 2017 4:29 pm
Έστω ότι τα κέντρα \displaystyle O,\,\,K δύο κύκλων με ακτίνες \displaystyle R,\,\,\,r έχουν απόσταση \displaystyle d , με \displaystyle d>R+r.
Βρείτε σε ποιό σημείο της διακέντρου και ανάμεσα στους δύο κύκλους πρέπει να τοποθετηθεί μια σημειακή φωτεινή πηγή \displaystyle C ώστε να φωτίζει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο άθροισμα τόξων των δύο κύκλων.

Υ.Γ. Θα ήταν ενδιαφέρουσα και μια λύση με Γεωμετρία
Καλησπέρα Γιώργη!
maxsum.png
maxsum.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές
Αναζητούμε τη θέση του S για τη μέγιστη γωνία x. Εικάζω ότι αυτό συμβαίνει όταν \displaystyle TC \bot OK, αλλά ακόμα

δεν έχω γενική απόδειξη. Στο σχήμα είναι \displaystyle R = 3,r = 2,d = 7,OC \simeq 3.97124

edit: Άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Νοέμ 20, 2017 8:36 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1584
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Νοέμ 19, 2017 9:01 pm

Εγώ εικάζω Γιώργη και Γιώργο ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται στο σημείο που οι εφαπτόμενες ημιευθείες γίνονται αντικείμενες.
τοξα.ggb
(14.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 24 φορές


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1368
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Νοέμ 19, 2017 10:27 pm

Christos.N έγραψε:
Κυρ Νοέμ 19, 2017 9:01 pm
Εγώ εικάζω Γιώργη και Γιώργο ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται στο σημείο που οι εφαπτόμενες ημιευθείες γίνονται αντικείμενες.
Συμφωνώ Χρήστο . Είναι το σημείο τομής των εσωτερικών εφαπτομένων . Γι΄αυτό πρότεινα μια Γεωμετρική λύση .
Ωραίο το σχήμα . Δεν ήξερα το \displaystyle {\rm{\Lambda (x({\rm E})}}{\rm{,\alpha )}} για τη γραφική παράσταση . Ευχαριστώ .


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7195
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 20, 2017 9:28 am

exdx έγραψε:
Σάβ Νοέμ 18, 2017 4:29 pm
Έστω ότι τα κέντρα \displaystyle O,\,\,K δύο κύκλων με ακτίνες \displaystyle R,\,\,\,r έχουν απόσταση \displaystyle d , με \displaystyle d>R+r.
Βρείτε σε ποιό σημείο της διακέντρου και ανάμεσα στους δύο κύκλους πρέπει να τοποθετηθεί μια σημειακή φωτεινή πηγή \displaystyle C ώστε να φωτίζει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο άθροισμα τόξων των δύο κύκλων.

Υ.Γ. Θα ήταν ενδιαφέρουσα και μια λύση με Γεωμετρία
Μάλλον δεν κατάλαβα καλά την άσκηση. Νόμιζα ότι αναφερόταν σε μέτρα τόξων, αλλά ο Γιώργης εννοούσε μήκη τόξων.
maxsum.b.png
maxsum.b.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές
Εν ολίγοις εγώ αναζητούσα τη θέση του C για την οποία μεγιστοποιείται το άθροισμα \overset\frown{DE}+\overset\frown{FG}=a+b=2x,

(Σχήμα-1), ενώ η άσκηση ζητούσε για ποια θέση του C μεγιστοποιείται το Ra+rb. (Σχήμα-2)
maxsum.c.png
maxsum.c.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές
Για το πρώτο πρέπει τα σημεία T, C, T' να είναι συνευθειακά και \displaystyle TT' \bot OK (για συγκεκριμένες τιμές των R, r, d

υπολογίζεται το μήκος OC με λογισμικό), ενώ για το δεύτερο είναι αυτό που ειπώθηκε πιο πάνω για το σημείο τομής των

κοινών εσωτερικών εφαπτομένων.

Πάντως, όποια ερμηνεία κι αν δώσει κανείς, είναι μια πολύ ωραία άσκηση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης