Υπαρξιακή

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Υπαρξιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Δεκ 12, 2017 2:11 am

Έστω η συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύουν τα παρακάτω:
  • f δύο φορές παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}.
  • Για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει f'(x)f''(x)\neq 0.
  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty και \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=+\infty .
  • f(2)=0
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό \alpha \in (0,1) τέτοιο ώστε \displaystyle 2f(\alpha +1)=f(\alpha ).

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπαρξιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Δεκ 12, 2017 10:42 am

Από τη 2η συνθήκη βλέπουμε ότι η πρώτη παράγωγος διατηρεί πρόσημο (λόγω του ότι είναι συνεχής).

Από την 3η συνθήκη και συγκεκριμένα από το δεύτερο όριο θα είναι τελικά {f}'(x)>0, για κάθε x\in R (μπορούμε να συμπεράνουμε το ίδιο και από το πρώτο όριο της 3ης συνθήκης).

Επίσης από τη 2η έχουμε ότι η συνάρτησή μας δεν παρουσιάζει καμπή. Εύκολα βλέπουμε από το 2ο όριο ότι θα είναι τελικά κυρτή (δεν μπορεί να πάρει ετερόσημες τιμές η δεύτερη παράγωγος από Darboux)και επομένως η f στο διάστημα (0,2) θα βρίσκεται κάτω από τη χορδή με άκρα τα σημεία (0,f(0)),(2,0).

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση g(x)=2f(x+1)-f(x),x\in[0,1] η οποία έχει θετική παράγωγο αφού η {f}' είναι θετική και γνησίως αύξουσα.

Από τη Jensen και το Θ.Bolzano στο [0,1] παίρνουμε τελικά το ζητούμενο αφού τότε θα είναι f(1)<\frac{0+f(0)}{2} και g(0)g(1)< 0 (είναι g(1)=-f(1)>0 αφού f γν.αύξουσα και f(2)=0).

H μοναδικότητα προκύπτει από το γεγονός ότι η g είναι γνησίως αύξουσα.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Υπαρξιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Δεκ 15, 2017 1:11 am

Σωστά. Αλλά χρησιμοποιηθήκαν εργαλεία που δεν είναι γνωστά στην Γ' λυκείου (θεώρημα Darboux).


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπαρξιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Δεκ 15, 2017 9:17 am

M.S.Vovos έγραψε:
Παρ Δεκ 15, 2017 1:11 am
Σωστά. Αλλά χρησιμοποιηθήκαν εργαλεία που δεν είναι γνωστά στην Γ' λυκείου (θεώρημα Darboux).
Καλημέρα. Ναι όντως έτσι είναι, ασχέτως αν μπορεί να αποδειχθεί με γνώσεις Γ'Λυκείου. Ούτε βέβαια η Jensen είναι σχολικό εργαλείο. Αναμένω τη δικιά σας λύση με σχολικά εργαλεία.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1424
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Υπαρξιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Δεκ 16, 2017 12:17 am

Αιτιολόγηση με σχολική ύλη.
Ο Λάμπρος έχει αιτιολογήσει ότι f'(x) > 0 δηλαδή ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
Επίσης, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα.
Από τον ορισμό της ισχύει g(1) = -f(1) , g(0) = 2f(1) - f(0)
Αφού g(1) > g(0) σημαίνει -f(1) > 2f(1) - f(0) ή f(0) > 3f(1). Όμως, f(0) > f(1).
Αυτό σημαίνει ότι f(1) < 0.
Άρα, g(1) = -f(1) >0
g(0) = 2f(1) - f(0) < 0
Συνεπώς, οι τιμές g(0) , g(1) είναι ετερόσημες. Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει η ύπαρξη του αριθμού α στο διάστημα (0, 1).
Η μοναδικότητα του προκύπτει από τη μονοτονία της συνάρτησης g.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Υπαρξιακή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Δεκ 19, 2017 12:46 am

Το δύσκολο κομμάτι της άσκησης είναι να δείχνει ότι η f είναι κυρτή.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπαρξιακή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιαν 02, 2018 5:13 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Δεκ 19, 2017 12:46 am
Το δύσκολο κομμάτι της άσκησης είναι να δείχνει ότι η f είναι κυρτή.
Καθόλου. Η {f}' είναι συνεχής με παράγωγο που δεν μηδενίζεται πουθενά. Επομένως είναι 1-1. Από αυτά τα δύο παίρνουμε ότι είναι γνησίως μονότονη και μάλιστα γνησίως αύξουσα από το δεύτερο όριο.

Αυτή θεωρείται λύση με σχολική ύλη;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης