Μονοτονία

#1

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση
$\displaystyle f(x)=\ln (1+{{x}^{2}})+{{e}^{-x}}+2x-\sin x,\,\,\,\,\,x\in \mathbb{R}$

KARKAR · #2

Θεωρώ τις

και $h(x)=e^{-x}+2x-sinx$

Και οι δύο είναι γν. φθίνουσες στο $(-\infty,0]$ και γν. αύξουσες στο $[0,+\infty)$ .

Η

... προφανώς , ενώ η

έχει παράγωγο την $h'(x)=\dfrac{e^x(2-cosx)-1}{e^x}$

και θέτοντας : t(x)=e^x(2-cosx)-1

, παρατηρούμε ότι : t(0)=0

και :

,κ.λ.π.

Τώρα η

είναι άθροισμα των g,h

συνεπώς και αυτή είναι

γν. φθίνουσα στο $(-\infty,0]$ και γν. αύξουσα στο $[0,+\infty)$