Όριο

Tolaso J Kos · #1

Υπολογίσατε το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}}$

Christos.N · #2

'Οτι πρέπει για μαθητές.

Ορέστης Λιγνός · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 10, 2018 10:23 am
Υπολογίσατε το όριο
$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}}$

Είναι $\displaystyle \ell = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x\sin \dfrac{1}{x}}{\dfrac{\sin x}{x}}$ .

Έχουμε $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$ (1).

Επίσης $|x\sin \dfrac{1}{x}| \leqslant |x| \Rightarrow -|x| \leqslant x \sin \dfrac{1}{x}\leqslant |x|$ , και αφού $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \pm |x|=0$ , από κριτήριο παρεμβολής είναι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} x \sin \dfrac{1}{x}=0$ (2).

Επομένως, από (1), (2) $\ell=\dfrac{0}{1}=\boxed{0}$ .

Tolaso J Kos · #4

Ωραία... ο κύριος DeL' Hospital τι έχει να πει για αυτό το όριο ;

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2018 10:30 am
Ωραία... ο κύριος DeL' Hospital τι έχει να πει για αυτό το όριο ;

Ακριβώς εκεί είναι το μυστικό της άσκησης, ότι δηλαδή ο l' Hospital δεν έχει να πει τίποτα!

Παρ' όλο που το αρχικό όριο είναι περίπτωση 0/0

, τυφλή εφαρμογή του κανόνα οδηγεί στο

$\displaystyle{\ell=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}} {\cos x}}$

Παρατηρούμε όμως ότι το όριο αυτό δεν υπάρχει (ο παρονομαστής και ο ένας προσθετέος του αριθμητή έχουν όριο

και

, αντίστοιχα, αλλά τα χαλάει ο άλλος προσθετέος). Αφού το όριο δεν υπάρχει, ο Κανόνας l' Hospital δεν εφαρμόζεται γιατί έχει στις υποθέσεις του την απαίτηση να υπάρχει το όριο $\lim \frac {f'(x)}{g'(x)}$ .

Αυτά παθαίνουμε όταν τα Μαθηματικά γίνονται χωρίς αποδείξεις, οπότε πρέπει να αποστιθίσουμε τις συνθήκες των θεωρημάτων χωρίς να καταλαβαίνουμε τις αιτίες. Δράμα.

Μια φορά είδα και έπαθα να πείσω έναν φοιτητή ότι στην περίπτωση $\infty - \infty$ ΔΕΝ μπορούμε να πούμε ότι $\lim (f(x)-g(x)) = \lim (f'(x)-g'(x))$ ακόμα και αν υπάρχει το δεύτερο (αντιπαράδειγμα $f(x)=x+1, \, g(x)=x$ ). Ο ίδιος επέμενε ότι έτσι το έμαθε στο Σχολείο/Φροντιστήριο. Φυσικά δεν τον πίστεψα, αλλά γεγονός παραμένει ότι όπως έμαθε χωρίς απόδειξη τις σωστές περιπτώσεις l' Hospital, η προσθήκη άλλης μίας λογικοφανούς, δεν έβλαπτε.

Tolaso J Kos · #6

Πολύ ωραία... ήταν θέμα εξετάσεων το ερώτημα αυτό "να εξηγηθεί γιατί δεν εφαρμόζεται ο DeL Hospital".

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2018 8:06 pm
Μια φορά είδα και έπαθα να πείσω έναν φοιτητή ότι στην περίπτωση $\infty - \infty$ ΔΕΝ μπορούμε να πούμε ότι $\lim (f(x)-g(x)) = \lim (f'(x)-g'(x))$ ακόμα και αν υπάρχει το δεύτερο (αντιπαράδειγμα $f(x)=x+1, \, g(x)=x$ ). Ο ίδιος επέμενε ότι έτσι το έμαθε στο Σχολείο/Φροντιστήριο. Φυσικά δεν τον πίστεψα, αλλά γεγονός παραμένει ότι όπως έμαθε χωρίς απόδειξη τις σωστές περιπτώσεις l' Hospital, η προσθήκη άλλης μίας λογικοφανούς, δεν έβλαπτε.

Μιχάλη ,

η αλήθεια είναι πως στο σχολείο μαθαίνουμε το DeL' Hospital να τον εφαρμόζουμε τυφλοσούρτι όπως ήδη ξέρεις. Καταλήγουν τα παιδιά λοιπόν να τον χρησιμοποιούν κατά κόρον ακόμα και σε πολύ απλά όρια και κάπως έτσι ξεχνούν τις βασικές μεθοδολογίες για τα όρια ( πάει και ο συζυγής πάνε όλα αυτά που είδαν στο δεύτερο κεφάλαιο ) Φυσικά, τονίζεται το γεγονός ότι για να χρησιμοποιηθεί ο DeL' Hospital απαραίτητη προϋπόθεση είναι να υπάρχει το όριο των παραγώγων αλλά αλήθεια πόσοι μαθητές το ελέγχουν ;

Και μία προσωπική εμπειρία: Πριν δύο χρόνια έκανα μάθημα σε μία μαθήτρια Γ Λυκείου. Ζητούταν σε άσκηση να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sin x}{x}}$
Εφαρμόζει DeL' Hospital και γράφει ότι το όριο δεν υπάρχει αφού ως γνωστόν το όριο $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sin x$ δεν υπάρχει.

Ratio · #7

de l' Hospital , βοήθημα και μάστιγα προχειρότητας ταυτόγχρονα

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση