Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 826
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Φεβ 20, 2018 2:47 pm

Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό n ώστε η εξίσωση:

\displaystyle{e^{x}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}}
να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Φεβ 23, 2018 9:21 am

Mια υπόδειξη μόνο
\displaystyle{n=0,1,2} δεν εχει 3 λύσεις ενώ για \displaystyle{n=3} έχει 3 λύσεις με την βοηθεια πινάκων μονοτονίας και ειδικες τιμές


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Φεβ 24, 2018 10:27 am

Για \displaystyle{n=0} η εξίσωση γράφεται \displaystyle{e^x=1} που έχει μόνο μία λύση

Για \displaystyle{n=1} η εξίσωση γράφεται \displaystyle{e^x=1+x} που έχει μόνο μία λύση αφού η \displaystyle{e^x} είναι κυρτή και \displaystyle{1+x} εφαπτομενη της

Λυση με εποπτεία
Για \displaystyle{n=2} η εξίσωση γράφεται \displaystyle{e^x=1+x+x^2} που θα δειξουμε ότι έχει 2 λύσεις
Θέτω \displaystyle{f(x)=e^x-1-x-x^2} τότε \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty,f(1)=e-3<0,f(0)=0} και \displaystyle{f'(x)=e^x-1-x-x>0} για \displaystyle{x<0} kai επειδή \displaystyle{f(0)=0} η \displaystyle{f} δεν έχει άλλη ρίζα στο \displaystyle{(-\infty,0) } άρα 2 τουλαχιστο η μονοτονία της \displaystyle{f} εξασφαλίζει το 2 ακριβώς

Για \displaystyle{n=3} η εξίσωση γράφεται \displaystyle{e^x=1+x+x^2+x^3} που έχει 3 λύσεις ακριβώς
Θέτω \displaystyle{g(x)=e^x-1-x-x^2-x^3} τότε \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty,g(1)=e-4<0,g(0)=0,g(-1/2)<0,\lim_{x \to -\infty}g(x)=+\infty} η μονοτονία της \displaystyle{g} εξασφαλίζει το 3 ακριβώς. Mαλιστα αφού \displaystyle{g(0)=g’(0)=0} ο άξονας χ εφάπτεται της Cg Aκριβέστερα μια γραφική λύση εχει ως εξης

1.\displaystyle{g’’’>0 ,x>ln2} και \displaystyle{g’’’<0 , x<ln2}
2.ο άξονας χ μπορεί να τέμνει την g’’ το πολύ σε δυο σημεία από τα ΘΒ τουλάχιστον σε δύο Άρα ακριβώς δυο
3.ο άξονας χ μπορεί να τέμνει την g’ το πολύ σε τρία σημεία από τα ΘΒ τουλάχιστον σε τρία Άρα ακριβώς τρία
4.ο άξονας χ μπορεί να τέμνει την g το πολύ σε 4 σημεία αφού \displaystyle{g(0)=g’(0)=0} ο άξονας χ εφάπτεται της Cg αρα τα σημεία είναι τρία όπως ισχυριστήκαμε


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης