Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

tsalikdimd · #1

Παρακαλώ την βοήθεια σας
H ακμή ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/sec.Να βρεθεί πόσο γρήγορα αυξάνει ο όγκος του ως προς την επιφάνεια του όταν η ακμή του γίνει 12 cm.

kostasrmd · #2

tsalikdimd έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 21, 2018 10:09 am
Παρακαλώ την βοήθεια σας
H ακμή ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/sec.Να βρεθεί πόσο γρήγορα αυξάνει ο όγκος του ως προς την επιφάνεια του όταν η ακμή του γίνει 12 cm.

Με πάσα επιφύλαξη διότι δεν είμαι ούτε καθηγητής ούτε μαθητής

Ψαχνουμε να βρουμε το $\displaystyle\lim_{t\rightarrow 4}\dfrac{E(x(t))-E(12)}{O(x(t)-O(12))}$ οπου

ο χρονος , E(x(t)), O(x(t))

η επιφανεια και ο ογκος του κυβου αντιστοιχα και x(t)

η ακμη του. Το

τεινει στο

επειδη, ξεκινωντας απο την χρονικη στιγμη t=0

και επιδη ο ρ.μ της ακμης ειναι

, τη χρονικη στιγμη t=4

η ακμη του κυβου θα ειναι

. Οι συναρτησεις που δινουν την επιφανεια και τον ογκο ειναι E(x(t))=6(x(t))^2, O(x(t))=x(t)^3

,
οποτε $\displaystyle\lim_{t\rightarrow 4}\dfrac{E(x(t))-E(12)}{O(x(t)-O(12))}=\dfrac{6x(t)^2-6\cdot 12^2}{x(t)^3-12^3}=6\cdot\dfrac{x(t)^2-12^2}{x(t)^3-12^3}$
.Παραγοντοποιωντας αριθμητη και παρονομαστη( ταυτοτητες διαφορας τετραγωνου και κυβου) βγαινει το οριο.

margk · #3

Πάρε τις σχέσεις του όγκου V και της επιφάνειας Ε του κύβου ως προς την ακμή α , απάλειψε την ακμή α και βρες την συνάρτηση V(E).
Παραγώγισέ την ως προς το Ε και στο αποτέλεσμα βάλε στο Ε την επιφάνεια όταν η ακμή είναι 12.
Ο ρυθμός μεταβολής της ακμής δεν χρειάζεται και το αποτέλεσμα είναι 3.

#4

Έστω ,

η ακμή , ο όγκος , και η επιφάνεια αντίστοιχα .

Είναι $a = a(t)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{da}}{{dt}} = 3$ .Επειδή:

$\left\{ \begin{gathered} V = {a^3} \hfill \\ E = 6{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{dV}}{{dt}} = 3{a^2}\dfrac{{da}}{{dt}} = 9{a^2} \hfill \\ \dfrac{{dE}}{{dt}} = 12a\dfrac{{da}}{{dt}} = 36a \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Αλλά $\dfrac{{dV}}{{dt}} = \dfrac{{dV}}{{dE}}\dfrac{{dE}}{{dt}} \Rightarrow 9{a^2} = \dfrac{{dV}}{{dE}}36a$ , άρα

$\boxed{\dfrac{{dV}}{{dE}} = \dfrac{a}{4}}$ .Τη χρονική στιγμή που a = 12

, δίδει : $\boxed{\dfrac{{dV}}{{dE}} = 3\dfrac{{c{m^3}}}{{c{m^2}}}}$

#5

Καλησπέρα σε όλους.

Θα ήθελα τη γνώμη σας σε κάποια ερωτήματα που με απασχολούν διαβάζοντας την εκφώνηση της άσκησης.

Νομίζω ότι δίχως να σχηματίσουμε τη σύνθετη συνάρτηση (Όγκος συναρτήσει Εμβαδού) που αντιμετωπίστηκε με τον κανόνα της αλυσίδας, από τον Νίκο, μπορούμε να πάρουμε απλά το πηλίκο του ρυθμού μεταβολής του Όγκου ( V(t)

) προς το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ( E'(t)

). Το πηλίκο αυτό είναι γραμμική συνάρτηση της ακμής, ανεξάρτητο του ρυθμού μεταβολής της, άρα είναι πλεονάζον δεδομένο, επικίνδυνο να παραπλανήσει μαθητές σε εξετάσεις, εκτός αν κάνω λάθος συλλογισμούς.

Τέλος, οι μονάδες στο πηλίκο νομίζω ότι δεν θα μπορούσαν να απλοποιηθούν.

Ομολογώ ότι οι μονάδες που δίνει ο Νίκος $\boxed{\dfrac{{dV}}{{dE}} = 3\dfrac{{c{m^3}}}{{c{m^2}}}}$ με ξενίζουν, παρόλο που είναι σαφέστατη η παραγώγιση με τον κανόνα της αλυσίδας.

Έχω συνηθίσει να αντιμετωπίζω το ρυθμό μεταβολής γεωμετρικών μεγεθών με μονάδες όγκου, επιφάνειας ή μήκους προς μονάδες χρόνου.

Θα χαιρόμουν να διαβάσω τις απόψεις σας ή τις παραπομπές σε σχετική βιβλιογραφία.

Για να γίνουν πιο κατανοητά τα ερωτήματά μου, παραθέτω μια αντιμετώπιση του προβλήματος, όπως κατανόησα την εκφώνηση:

Έστω $\displaystyle a\left( t \right)$ η ακμή του κύβου.

Είναι $\displaystyle V\left( t \right) = {a^3}\left( t \right)$ ο όγκος του, άρα $\displaystyle V'\left( t \right) = 3{a^2}\left( t \right) \cdot a'\left( t \right)$ .

Είναι $\displaystyle E\left( t \right) = 6{a^2}\left( t \right)$ το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας, άρα $\displaystyle E'\left( t \right) = 12a\left( t \right) \cdot a'\left( t \right)$ .

Ο λόγος του ρυθμού αύξησης του όγκου του προς τον ρυθμό αύξησης του εμβαδού της επιφάνειάς του τη χρονική στιγμή $\displaystyle {t_0}$ για την οποία $\displaystyle a\left( {{t_0}} \right) = 12\;cm$ είναι

$\displaystyle \frac{{V'\left( {{t_0}} \right)}}{{E'\left( {{t_0}} \right)}} = \frac{{3{a^2}\left( {{t_0}} \right) \cdot a'\left( {{t_0}} \right)}}{{12a\left( {{t_0}} \right) \cdot a'\left( {{t_0}} \right)}} = \frac{{a\left( {{t_0}} \right)}}{4} = \;\;\frac{{3\;c{m^3}/\sec }}{{1\;c{m^2}/\sec }}$ .

#6

Η απάντηση του Νίκου και του Γιώργου είναι μια χαρά
Έχουμε $\displaystyle 3c{m^3}$ μεταβολή του όγκου για κάθε ένα $\displaystyle c{m^2}$ μεταβολής της επιφάνειας .
Το ίδιο γίνεται με τη μονάδα της επιτάχυνσης : $\displaystyle 1cm/{\sec ^2} = \frac{{1cm/\sec }}{{1\sec }}$

Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

Re: Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

Re: Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

Re: Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

Re: Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

Re: Βοηθεια στο ρυθμο μεταβολης

Μέλη σε σύνδεση