Κυρτότητα και κλίση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9680
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κυρτότητα και κλίση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 09, 2018 1:00 pm

Κλίση  λόγω  κυρτότητας.png
Κλίση λόγω κυρτότητας.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές
Η συνάρτηση f είναι κυρτή και έστω A(a,f(a)) ένα σταθερό σημείο της C_{f} .

Έστω ακόμη B(b,f(b)) , C(c,f(c)) δύο σημεία της καμπύλης με b<c .

Δείξτε ότι η κλίση του τμήματος AB είναι μικρότερη εκείνης του AC .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1359
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Κυρτότητα και κλίση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μαρ 09, 2018 6:08 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 1:00 pm
Κλίση λόγω κυρτότητας.pngΗ συνάρτηση f είναι κυρτή και έστω A(a,f(a)) ένα σταθερό σημείο της C_{f} .

Έστω ακόμη B(b,f(b)) , C(c,f(c)) δύο σημεία της καμπύλης με b<c .

Δείξτε ότι η κλίση του τμήματος AB είναι μικρότερη εκείνης του AC .
Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle g(x) = \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} και \displaystyle x > a που είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x)(x - a) - [f(x) - f(a)]}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}

Από ΘΜΤ στο \displaystyle [a,x] για την \displaystyle f υπάρχει \displaystyle \xi στο \displaystyle \left( {a,x} \right) με \displaystyle f(x) - f(a) = f'(\xi )\left( {x - a} \right)

Έτσι \displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x) - f'(\xi )}}{{x - a}} > 0 αφού \displaystyle {f'}γνήσια αύξουσα.Άρα η \displaystyle g είναι γνήσια αύξουσα

και για \displaystyle a < b < c \Rightarrow g(b) < g(c) \Rightarrow \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} < \frac{{f(c) - f(a)}}{{c - a}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9680
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κυρτότητα και κλίση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 11, 2018 10:13 am

Ας παρατηρήσουμε ότι το ίδιο ισχύει και αν : b<c<a , ή αν : b<a<c . Για να ορίζεται

δε η g και στο a , μπορούμε να θεωρήσουμε την : g(x)=\left\{\begin{matrix} 
 & \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\neq a\\  
 & \\  
 & f'(a) , x=a \end{matrix}\right.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1796
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυρτότητα και κλίση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 11, 2018 11:03 pm

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 6:08 pm
KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 09, 2018 1:00 pm
Κλίση λόγω κυρτότητας.pngΗ συνάρτηση f είναι κυρτή και έστω A(a,f(a)) ένα σταθερό σημείο της C_{f} .

Έστω ακόμη B(b,f(b)) , C(c,f(c)) δύο σημεία της καμπύλης με b<c .

Δείξτε ότι η κλίση του τμήματος AB είναι μικρότερη εκείνης του AC .
Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle g(x) = \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} και \displaystyle x > a που είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x)(x - a) - [f(x) - f(a)]}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}

Από ΘΜΤ στο \displaystyle [a,x] για την \displaystyle f υπάρχει \displaystyle \xi στο \displaystyle \left( {a,x} \right) με \displaystyle f(x) - f(a) = f'(\xi )\left( {x - a} \right)

Έτσι \displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x) - f'(\xi )}}{{x - a}} > 0 αφού \displaystyle {f'}γνήσια αύξουσα.Άρα η \displaystyle g είναι γνήσια αύξουσα

και για \displaystyle a < b < c \Rightarrow g(b) < g(c) \Rightarrow \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} < \frac{{f(c) - f(a)}}{{c - a}}
Δεν χρειάζεται το ΘΜΤ.

Θέλουμε να δείξουμε ότι

f'(x)(x - a) - (f(x) - f(a))\geq0 με ισότητα για x=a

Λόγω κυρτότητας αν πάρουμε το (x,f(x))

είναι f(t)\geq f(x)+f'(x)(t-x)

Αν θέσουμε t=a παίρνουμε την ζητούμενη.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Κυρτότητα και κλίση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τρί Μαρ 13, 2018 11:22 am

Ιδιο θεμα υπάρχει στον ΕΚΘΕΤΗ του Νίκου Μαυρογιάννη στην εργασία μου ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης