Ασύμπτωτη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ασύμπτωτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Μαρ 10, 2018 8:07 am

Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle f(x) = \frac{{3{x^2} + 4x + 5}}{{x + 1}} και \displaystyle g(x) = \frac{{6{x^3} + 11{x^2} + 13x + 15}}{{{x^2} + x}}
Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο \displaystyle  + \infty της συνάρτησης \displaystyle f \circ g


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 721
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασύμπτωτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 10, 2018 11:31 am

exdx έγραψε:
Σάβ Μαρ 10, 2018 8:07 am
Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle f(x) = \frac{{3{x^2} + 4x + 5}}{{x + 1}} και \displaystyle g(x) = \frac{{6{x^3} + 11{x^2} + 13x + 15}}{{{x^2} + x}}
Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο \displaystyle  + \infty της συνάρτησης \displaystyle f \circ g
Επειδή \lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty θα υπάρχει a\in R τέτοιο, ώστε στο διάστημα (a,+\infty ) η g να παίρνει θετικές τιμές και συνεπώς δεν θα μηδενίζεται.

Έχουμε λοιπόν ότι

\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(g(x))}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(g(x))}{g(x)}\cdot \frac{g(x)}{x}=\lim_{u\rightarrow +\infty }\frac{f(u)}{u}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{g(x)}{x}=3\cdot 6=18.

Επιπλέον

\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f(g(x))-18x \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\left ( f(g(x))-3g(x)+3g(x)-18x\right )=\lim_{x\rightarrow +\infty } (f(g(x))-3g(x))
+\lim_{x\rightarrow +\infty }(3g(x)-18x)=\lim_{u\rightarrow +\infty }(f(u)-3u)+\lim_{x\rightarrow +\infty }(3g(x)-18x)=...=1+15=16.


Άρα η ζητούμενη ασύμπτωτη είναι η y=18x+16.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 721
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασύμπτωτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 10, 2018 1:41 pm

exdx έγραψε:
Σάβ Μαρ 10, 2018 8:07 am
Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle f(x) = \frac{{3{x^2} + 4x + 5}}{{x + 1}} και \displaystyle g(x) = \frac{{6{x^3} + 11{x^2} + 13x + 15}}{{{x^2} + x}}
Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο \displaystyle  + \infty της συνάρτησης \displaystyle f \circ g
Διαφορετικά.

Εκτελώντας τις διαιρέσεις παίρνουμε:

f(x)=3x+1+\frac{4}{x+1} και g(x)=6x+5+\frac{8x+15}{x^2+x}.

Υπάρχει a\in R τέτοιο, ώστε g(x)>-1 στο (a,+\infty ).

Άρα στο (a,+\infty ) είναι f(g(x))=1+3g(x)+\frac{4}{g(x)+1}=1+3(6x+5)+h(x)=18x+16+h(x)

όπου h ρητή συνάρτηση με βαθμό αριθμητή 4 και παρονομαστή 5 (έχει κάποιες επίπονες πράξεις εδώ)

και επομένως \lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=0.

Από την τελευταία παίρνουμε \lim_{x\rightarrow +\infty } (f(g(x))-(18x+16))=\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=0.

Η ασύμπτωτη είναι λοιπόν η y=18x+16.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3224
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασύμπτωτη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μαρ 11, 2018 12:04 am

Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολο να αποδειχθεί το γενικό

Εστω f,g:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

Αν στο \infty η g έχει ασύμπτωτη την y=ax+b,a> 0 και η f την y=cx+d,

ορίζεται η fog:(k,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

τότε η fog έχει ασύμπτωτη στο \infty την y=c(ax+b)+d=cax+cb+d


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης