Άθροισμα
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Άθροισμα
Αν θετικοί ακέραιοι με , υπολογίστε το άθροισμα:
To παριστάνει τους συνδυασμούς των ανά .
To παριστάνει τους συνδυασμούς των ανά .
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άθροισμα
Καλησπέρα κ.Λουρίδα και καλή ανάσταση να έχετε.Το αποτέλεσμα είναι και το ίδιο ισχύει αν αντί του έχουμε οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού τοS.E.Louridas έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 6:41 pmΑν θετικοί ακέραιοι με , υπολογίστε το άθροισμα:
To παριστάνει τους συνδυασμούς των ανά .
πολύ
Θεωρούμε τη συνάρτηση Από το διωνυμικό θεώρημα και με τη σύμβαση
είναι
Επίσης, όπου η οστή παράγωγος και
Από την παραγωγίζοντας φορές παίρνουμε
Επομένως
Αν θέσουμε στη όπου το παίρνουμε
για κάποιες πραγματικές, μη μηδενικές, σταθερές
Από την τελευταία βλέπουμε ότι η τιμή του αθροίσματος είναι πλήρως καθορισμένη από τις τιμές του
για αφού
Για αντικαθιστώντας στη όπου το βρίσκουμε ότι το άθροισμά μας έχει τιμή (είναι επίσης ) και εμπροσθοδρομικά
καταλήγουμε ότι για κάθε είναι
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Σάβ Απρ 07, 2018 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα
Ευχαριστώ πολύ, Καλή Ανάσταση και σε σας.Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Σάβ Απρ 07, 2018 8:34 pmΚαλησπέρα κ.Λουρίδα και καλή ανάσταση να έχετε.Το αποτέλεσμα είναι και το ίδιο ισχύει αν αντί του έχουμε οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού τοS.E.Louridas έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 6:41 pmΑν θετικοί ακέραιοι με , υπολογίστε το άθροισμα:
To παριστάνει τους συνδυασμούς των ανά .
πολύ
Θεωρούμε τη συνάρτηση Από το διωνυμικό θεώρημα και με τη σύμβαση
είναι
Επίσης, όπου η οστή παράγωγος και
Από την παραγωγίζοντας φορές παίρνουμε
Επομένως
Αν θέσουμε στη όπου το παίρνουμε
για κάποιες πραγματικές σταθερές
Από την τελευταία βλέπουμε ότι η τιμή του αθροίσματος είναι πλήρως καθορισμένη από τις τιμές του
για αφού
Για αντικαθιστώντας στη όπου το βρίσκουμε ότι το άθροισμά μας έχει τιμή και εμπροσθοδρομικά καταλήγουμε ότι για κάθε
είναι
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα
Βιαστικά γιατί είμαι στο εξωτερικό (όμως δεν θα χάσω το Πασχαλινό αρνί σήμερα μια και αργότερα θα συναντηθώ με την ελληνική κοινότητα εδώ)S.E.Louridas έγραψε: ↑Παρ Απρ 06, 2018 6:41 pmΑν θετικοί ακέραιοι με , υπολογίστε το άθροισμα:
To παριστάνει τους συνδυασμούς των ανά .
Έχουμε
Για παίρνουμε ότι για το δοθέν άθροισμα ισούται με .
Παραγωγίζοντας την έχουμε
Θέτοντας παίρνουμε ότι για το δοθέν άθροισμα επίσης ισούται με . Θα δούμε ότι συμβαίνει το ίδιο για τα υπόλοιπα μέχρι το .
Πράγματι πολλαπλασιάζοντας την επί έχουμε . Παραγωγίζοντας και μετά θέτοντας παίρνουμε ότι για το δοθέν άθροισμα επίσης ισούται με .
Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, δηλαδή κάθε φορά πολλαπλασιάζουμε επί , παραγωγίζουμε και θέτουμε . Το άθροισμα τα βγει λόγω της ύπαρξης παράγοντα στο αριστερό μέλος. Και λοιπά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα
Για προσέξτε καλύτερα την περίπτωση .
Σωτήρη, σίγουρα ήθελες αυτόν τον φάκελο; Ακόμη και με την απόδειξη του Μιχάλη, μάλλον μου φαίνεται ακατάλληλη για αυτόν τον φάκελο
Σωτήρη, σίγουρα ήθελες αυτόν τον φάκελο; Ακόμη και με την απόδειξη του Μιχάλη, μάλλον μου φαίνεται ακατάλληλη για αυτόν τον φάκελο
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα
Για να είμαι ειλικρινής Δημήτρη, απλά θεώρησα ότι με "άνοιγμα" του αθροίσματος, ώστε να έχουμε πιο προσιτή προσέγγιση και θεωρώντας τον ως σταθερό και σε κάθε φυσικό αριθμό τέτοιον ώστε να αντιστοιχούμε πολυώνυμο καταλήγουμε σε ύλη της 3ης Λυκείου, κύρια με σειρά παραγωγίσεων (Ο διδακτικός μου στόχος ήταν και αυτός, δηλαδή να μην μένει ο λύτης σε κάποιες περιπτώσεις μόνο σε μία ή δύο παραγωγίσεις, αλλά να έχει στο μυαλό του ότι πιθανόν να χρειαστούν πάνω από το συνηθισμένο πλήθος παραγωγίσεων). Όμως τώρα που το ξανασκέφτομαι με την δική σου επισήμανση θα μπορούσε να πάει στον φάκελο «Ανάλυση».
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα
Ας μου επιτραπεί να επανέλθω, για δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί:
Έστω Θεωρούμε τον ως σταθερά και σε κάθε αντιστοιχούμε το πολυώνυμο οπότε Παρατηρούμε εύκολα ότι και βέβαια Από τις σχέσεις παίρνουμε επαγωγικά τα πολυώνυμα με κάποιο πολυώνυμο. Για έχουμε Τελικά παίρνουμε
Έστω Θεωρούμε τον ως σταθερά και σε κάθε αντιστοιχούμε το πολυώνυμο οπότε Παρατηρούμε εύκολα ότι και βέβαια Από τις σχέσεις παίρνουμε επαγωγικά τα πολυώνυμα με κάποιο πολυώνυμο. Για έχουμε Τελικά παίρνουμε
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Άθροισμα
Καλημέρα και καλό Πάσχα. Χάριν πληρότητας δίνω και μία αλγεβρική λύση.
Έχουμε γενικά . Αφού μπορούμε να ξεκινήσουμε την άθροιση από το .
Έτσι,
(όπου το δέλτα του Kronecker).
Μπορούμε πάντα να γράψουμε (αποδεικνύεται με επαγωγή στο ). Επομένως, .
Έχουμε γενικά . Αφού μπορούμε να ξεκινήσουμε την άθροιση από το .
Έτσι,
(όπου το δέλτα του Kronecker).
Μπορούμε πάντα να γράψουμε (αποδεικνύεται με επαγωγή στο ). Επομένως, .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Άθροισμα
Χρόνια πολλά κ.Δημήτρη (και στον κ.Σκουτέρη και κ. Λάμπρου βεβαίως)
Έχετε δίκιο. Αμέλειά μου. Μπορούμε να δουλέψουμε εδώ με πεπερασμένες διαφορές. Συγκεκριμένα ορίζοντας τον τελεστή
και , για παίρνουμε
Είναι γνωστό ότι για ενώ για έχουμε
Άρα για και έχουμε από την ότι
ενώ για και είναι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες