Το μήκος της σκιάς
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Το μήκος της σκιάς
Ένας άνθρωπος κινείται από το μέχρι τον τοίχο . ( Τα απαραίτητα στοιχεία , όπως στο σχήμα )
α) Να εκφράσετε το μήκος της σκιάς (στο πάτωμα ή/και στον τοίχο ) ως συνάρτηση του .
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής .
γ) Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .
δ) Να βρείτε πότε η σκιά έχει το μεγαλύτερο μήκος .
α) Να εκφράσετε το μήκος της σκιάς (στο πάτωμα ή/και στον τοίχο ) ως συνάρτηση του .
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής .
γ) Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη .
δ) Να βρείτε πότε η σκιά έχει το μεγαλύτερο μήκος .
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5279
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Το μήκος της σκιάς
Καλημέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια στο ενδιαφέρον πρόβλημα του Γιώργη.
Στο χρονικό διάστημα για το οποίο το βρίσκεται στο , από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε .
Όταν το ταυτιστεί με το , ο άνθρωπος θα βρίσκεται στο μέσο της διαδρομής, άρα x = 4. Οπότε .
Όταν , τότε , όπου η σκιά στον τοίχο.
Θεωρούμε ότι το βρίσκεται στην προέκταση του οπότε , αφού η αναλογία των πλευρών των τριγώνων διατηρείται.
Από την ομοιότητα των είναι
Οπότε η σκιά δίνεται από το άθροισμα
Άρα .
Τελικά, είναι
Η είναι συνεχής στο και στο ως ταυτοτική και ρητή συνάρτηση αντίστοιχα.
Είναι , άρα η είναι συνεχής στο .
Είναι
,
,
άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο .
Η μονοτονία και τα ακρότατά της δίνονται στον πίνακα
Η μέγιστη τιμή είναι όταν ο άνθρωπος βρεθεί στο μέσο της διαδρομής.
Στο χρονικό διάστημα για το οποίο το βρίσκεται στο , από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε .
Όταν το ταυτιστεί με το , ο άνθρωπος θα βρίσκεται στο μέσο της διαδρομής, άρα x = 4. Οπότε .
Όταν , τότε , όπου η σκιά στον τοίχο.
Θεωρούμε ότι το βρίσκεται στην προέκταση του οπότε , αφού η αναλογία των πλευρών των τριγώνων διατηρείται.
Από την ομοιότητα των είναι
Οπότε η σκιά δίνεται από το άθροισμα
Άρα .
Τελικά, είναι
Η είναι συνεχής στο και στο ως ταυτοτική και ρητή συνάρτηση αντίστοιχα.
Είναι , άρα η είναι συνεχής στο .
Είναι
,
,
άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο .
Η μονοτονία και τα ακρότατά της δίνονται στον πίνακα
Η μέγιστη τιμή είναι όταν ο άνθρωπος βρεθεί στο μέσο της διαδρομής.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης