Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1348
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Ιούλ 09, 2018 1:10 am

Δίνεται το τρίγωνο \displaystyle ABC και το σημείο \displaystyle M επί της \displaystyle AB. Από το \displaystyle M φέρουμε \displaystyle ME//AC και από το \displaystyle E την \displaystyle EZ//BA .
Ποια θέση του \displaystyle M επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του \displaystyle (AMEZ);

Δεκτή και η γεωμετρική αντιμετώπιση
Συνημμένα
trig.png
trig.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιούλ 09, 2018 2:12 am

exdx έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 1:10 am
Δίνεται το τρίγωνο \displaystyle ABC και το σημείο \displaystyle M επί της \displaystyle AB. Από το \displaystyle M φέρουμε \displaystyle ME//AC και από το \displaystyle E την \displaystyle EZ//BA .
Ποια θέση του \displaystyle M επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του \displaystyle (AMEZ);

Δεκτή και η γεωμετρική αντιμετώπιση
άρση απόκρυψης

\displaystyle ME//BC \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{x}{c} \Rightarrow y = \frac{b}{c} \cdot x και \displaystyle \left( {MEZA} \right) = \max  \Leftrightarrow 2\left( {MAZ} \right) = max

Αλλά \displaystyle 2\left( {MAZ} \right) = MA \cdot AZ \cdot \sin A = \frac{{b\sin A}}{c} \cdot x\left( {c - x)} \right)

Άρα μέγιστο εμβαδόν έχουμε για το \displaystyle x που \displaystyle x(c - x) = \max δηλαδή για \displaystyle \boxed{x = \frac{c}{2}}
mep.png
mep.png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Δευ Ιούλ 09, 2018 1:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιούλ 09, 2018 8:51 am

Καλημέρα με καταρχάς μία γεωμετρική άποψη:


Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ισούται με ME \cdot M{M{'}}, όπου M{M{'}} η απόσταση του M από την AC.

Όμως τα τρίγωνα BME,\;\,MA{M{'}} διατηρούν τις γωνίες τους, συνεπώς παραμένουν όμοια προς εαυτόν,

άρα έχουμε \displaystyle{\frac{{ME}}{{MB}} = k,\;\frac{{M{M{'}}}}{{MA}} = \ell ,\quad k,\ell ,\;ct.} ή \displaystyle{ME = kMB,\;\,M{M{'}} = \ell MA.}

Αρκεί λοιπόν το γινόμενο MB \cdot MA να γίνει μέγιστο με MB + MA = AB,\;ct.

Αυτό ως γνωστόν επιτυγχάνεται όταν το M είναι μέσο της AB.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 301
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Ιούλ 09, 2018 1:50 pm

exdx έγραψε:
Δευ Ιούλ 09, 2018 1:10 am
Δίνεται το τρίγωνο \displaystyle ABC και το σημείο \displaystyle M επί της \displaystyle AB. Από το \displaystyle M φέρουμε \displaystyle ME//AC και από το \displaystyle E την \displaystyle EZ//BA .
Ποια θέση του \displaystyle M επιτυγχάνει τη μεγιστοποίηση του \displaystyle (AMEZ);

Δεκτή και η γεωμετρική αντιμετώπιση
Καλησπέρα . Μια προσπάθεια με Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄Λυκείου ...
Μέγιστο Εμβαδόν Παραλληλογράμμου.png
Μέγιστο Εμβαδόν Παραλληλογράμμου.png (8.94 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
To M κινείται επί της ευθείας y=2x με x\in[0,2]. Άρα M(t,2t) με t\in[0,2] .
Η ευθεία (\varepsilon ): y=2t είναι παράλληλη στον άξονα xx' και τέμνει την ευθεία (\eta ): y=-x+6 ,στο E .
Όπου (\eta ) η ευθεία, η οποία διέρχεται από τα B,\Gamma .
Εύκολα βρίσκουμε ότι E(6-2t,2t) με t\in[0,2] .
Άρα (AMEZ)=d(M,xx')\cdot (ME)=-6(t^2-2t) .
Θεωρώ την συνάρτηση f(t)=-6(t^2-2t) , παραγωγίσιμη με f'(t)=-12(t-1).
Με πίνακα μονοτονίας βρίσκουμε ότι η f παρουσιάζει μέγιστη τιμή στο t=1.
Συνεπώς η μεγιστοποίηση του \displaystyle (AMEZ) επιτυγχάνεται όταν M(1,2).
Δηλαδή, όπως απεδείχθη ήδη και γεωμετρικά M : μέσον της πλευράς AB .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5207
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιούλ 10, 2018 9:14 am

Μία προσπάθεια με ύλη Γ’ Λυκείου (Διαφορικoύ Λογισμού):

Θα εργαστούμε με βάση το σχήμα του Γιώργη.
Αν ονομάσουμε BM = x, έχουμε: \displaystyle{\frac{{ME}}{b} = \frac{x}{c} \Rightarrow ME = \frac{b}{c}x,} και \displaystyle{\frac{{M{M_1}}}{{{h_a}}} = \frac{{c - x}}{c} \Rightarrow M{M_1} = \frac{{{h_a}}}{c}\left( {c - x} \right),\;{M_1} \in AC,\,\;M{M_1} \bot AC.} \displaystyle{y = E = \frac{{b{h_a}}}{{{c^2}}}\left( {cx - {x^2}} \right) \Rightarrow {y{'}} = \frac{{b{h_a}}}{{{c^2}}}\left( {c - 2x} \right),} από όπου προκύπτει ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν \displaystyle{x = \frac{c}{2}.}


(*) Ευχόμενος βέβαια να μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ομοιότητα τριγώνων και ο τύπος του εμβαδού τριγώνου, που δεν είναι στην ύλη της Γ' Λυκείου, χωρίς αυτό να είναι σε βάρος της κριτικής σκέψης ...


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4040
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιούλ 10, 2018 12:20 pm

Καλημέρα σε όλους. Μια ακόμα λύση με ομοιότητα και με μελέτη τριωνύμου. Νομίζω έτσι το αντιμετωπίζαμε, όταν είμαστε μαθητές πριν κάποιες δεκαετίες, τότε που οι παράγωγοι δεν είχαν την απόλυτη κυριαρχία στη σχολική ύλη.

10-07-2018 Γεωμετρία.jpg
10-07-2018 Γεωμετρία.jpg (18.86 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Τα τρίγωνα BME και ABC είναι όμοια, αφού έχουν δύο πλευρές συνευθειακές και τις τρίτες πλευρές τους παράλληλες.

Φέρνουμε το ύψος  \displaystyle {\rm B}{\rm K} = \upsilon που τέμνει κάθετα την ME στο L.

Έστω  \displaystyle \frac{{{\rm M}{\rm E}}}{b} = \lambda ,\;\;0 \le \lambda  \le 1 , οπότε και  \displaystyle \frac{{BL}}{{BK}} = \lambda .

Τότε  \displaystyle A{\rm Z} = M{\rm E} = \lambda b\;\;\;\kappa \alpha \iota \;\;LK = BK - BL = \left( {1 - \lambda } \right)\upsilon

Είναι  \displaystyle \frac{{\left( {{\rm A}{\rm Z}{\rm E}{\rm M}} \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}C} \right)}} = \frac{{LK \cdot A{\rm Z}}}{{\frac{{b\upsilon }}{2}}} = \frac{{\left( {1 - \lambda } \right)\upsilon  \cdot \lambda b}}{{\frac{{b\upsilon }}{2}}} =  - 2{\lambda ^2} + 2\lambda .

Το μέγιστο του τμήματος της παραβολής  \displaystyle y =  - 2{x^2} + 2x,\;\;x \in \left[ {0,\;1} \right] επιτυγχάνεται για  \displaystyle x =  - \frac{\beta }{{2\alpha }} =  - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{2} , οπότε για  \displaystyle \lambda  = \frac{1}{2} έχουμε το μέγιστο εμβαδόν του παραλληλογράμμου AZEM, δηλαδή όταν το M είναι μέσον του AB.

edit: Να σημειώσω ότι ο K.M. Tikhomirov στις «Ιστορίες για τα µέγιστα και ελάχιστα (σ.27 αγγλικής έκδοσης) αναφέρει ότι πρόκειται για το μοναδικό πρόβλημα μεγίστων-ελαχίστων στα στοιχεία του Ευκλείδη, (σε μια σύγχρονη διατύπωσή του).


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 815
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμμου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Ιούλ 12, 2018 1:20 am

Καλημέρα σε όλους
Μέγιστο εμβαδόν.PNG
Μέγιστο εμβαδόν.PNG (6.08 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
Τα K,T,H είναι τα μέσα των AB,BC,AC .Έστω M \in BK .

Θα δείξουμε ότι \left ( AKTH \right )\geq \left ( AMEZ \right )\Leftrightarrow  ( ZHTO )  \geq \left ( MEOK \right ) \Leftrightarrow MK\cdot ME\cdot \eta \mu \omega \leq  OZ\cdot OT\cdot \eta \mu \omega \Leftrightarrow MK\cdot ME \leq OZ\cdot OT ...\left ( 1 \right ) .

BM=\lambda AB τότε \lambda \leq 1/2 και λόγω της ομοιότητας των τριγώνων BEM ,BAC είναι ME= \lambda  AC.

Ακόμη MK=\dfrac{1-2\lambda }{2}AB...OZ=AB/2...OT= \dfrac{1-2\lambda }{2}AC . Με χρήση αυτών η \left ( 1 \right )\Leftrightarrow ...\lambda \leq 1/2 που ισχύει.

Όμοια είναι η αντιμετώπιση αν M \in AK... Φιλικά Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης