Καλημέρα σε όλους. Μια ακόμα λύση με ομοιότητα και με μελέτη τριωνύμου. Νομίζω έτσι το αντιμετωπίζαμε, όταν είμαστε μαθητές πριν κάποιες δεκαετίες, τότε που οι παράγωγοι δεν είχαν την απόλυτη κυριαρχία στη σχολική ύλη.

- 10-07-2018 Γεωμετρία.jpg (18.86 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές
Τα τρίγωνα

και

είναι όμοια, αφού έχουν δύο πλευρές συνευθειακές και τις τρίτες πλευρές τους παράλληλες.
Φέρνουμε το ύψος

που τέμνει κάθετα την

στο

.
Έστω

, οπότε και

.
Τότε
Είναι

.
Το μέγιστο του τμήματος της παραβολής
![\displaystyle y = - 2{x^2} + 2x,\;\;x \in \left[ {0,\;1} \right] \displaystyle y = - 2{x^2} + 2x,\;\;x \in \left[ {0,\;1} \right]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c1ca6551e6f29261d179c147faa5a8c4.png)
επιτυγχάνεται για

, οπότε για

έχουμε το μέγιστο εμβαδόν του παραλληλογράμμου

, δηλαδή όταν το

είναι μέσον του

.
edit: Να σημειώσω ότι ο
K.M. Tikhomirov στις «Ιστορίες για τα µέγιστα και ελάχιστα (σ.27 αγγλικής έκδοσης) αναφέρει ότι πρόκειται για το μοναδικό πρόβλημα μεγίστων-ελαχίστων στα
στοιχεία του Ευκλείδη, (σε μια σύγχρονη διατύπωσή του).