Ακρότατα και απόσταση

#1

Δίνονται οι συναρτήσεις : $\displaystyle f(x)={{e}^{x}},x\in R$ και $\displaystyle g(x)=ex-{{e}^{x}}+e,\,\,x\in R$ και τα σημεία $\displaystyle A(-1,0),\,\,B(0,e)$ .
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle g(x)=0$ έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες , έστω $\displaystyle a,b$ με $\displaystyle a<b$
β) Η συνάρτηση $\displaystyle d:R\to R$ παριστάνει την απόσταση ενός τυχαίου σημείου $\displaystyle M$ της $\displaystyle {{C}_{f}}$ από την ευθεία $\displaystyle AB$ .
i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle d$
ii) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .

#2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 14, 2018 10:40 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις : $\displaystyle f(x)={{e}^{x}},x\in R$ και $\displaystyle g(x)=ex-{{e}^{x}}+e,\,\,x\in R$ και τα σημεία $\displaystyle A(-1,0),\,\,B(0,e)$ .
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle g(x)=0$ έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες , έστω $\displaystyle a,b$ με $\displaystyle a<b$
β) Η συνάρτηση $\displaystyle d:R\to R$ παριστάνει την απόσταση ενός τυχαίου σημείου $\displaystyle M$ της $\displaystyle {{C}_{f}}$ από την ευθεία $\displaystyle AB$ .
i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle d$
ii) Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .

...γεια σου Γιώργη καλησπέρα

με μια προσπάθεια στο θέμα...

α) Είναι $\displaystyle g(x)=ex-{{e}^{x}}+e,\,\,x\in R$ είναι συνεχής στο

με $g(-1)=-e-\frac{1}{e}e+e=-\frac{1}{e}<0$ και

g(0)=0-1+e=e-1>0

και $g(3)=3e-{{e}^{3}}+e=4e-{{e}^{3}}=e(4-{{e}^{2}})<0$

άρα είναι $g(-1)g(0)<0,\,\,g(0)g(3)<0$

και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν $a\in (-1,\,\,0),\,\,b\in (0,\,\,3)$ που $g(\alpha )=g(b)=0$

Αν τώρα η $\displaystyle g(x)=0$ έχει τρεις διαφορετικές ρίζες ${{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}}$ επειδή η

είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=e-{{e}^{x}}$ σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle στα $[{{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}],\,\,[{{\rho }_{2}},\,{{\rho }_{3}}]$

υπάρχουν ${{\xi }_{1}}\in ({{\rho }_{1}},\,{{\rho }_{2}}),\,\,{{\xi }_{2}}\in ({{\rho }_{2}},\,{{\rho }_{3}})$ που

${g}'({{\xi }_{1}})={g}'({{\xi }_{2}})=0$ που είναι άτοπο γιατί ${g}'(x)=0\Leftrightarrow e-{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1$ επομένως η

$\displaystyle g(x)=0$ έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες , τις $\displaystyle a,b$ με $\displaystyle a<b$

β) i) Η ευθεία $\displaystyle AB$ έχει εξίσωση $y-0=\frac{e-0}{0-(-1)}(x-(-1))\Leftrightarrow y=ex+e\Leftrightarrow ex-y+e=0$ και

η απόσταση του τυχαίου σημείου M((x,f(x))

από αυτή είναι

$d(x)=\frac{|ex-f(x)+e|}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}}=\frac{|g(x)|}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}}$

ii) Σύμφωνα με το (α) $\displaystyle a,b$ είναι οι μοναδικές ρίζες της $\displaystyle g(x)=0$ (και της d(x)=0

και λόγω αυτού

$g(x)\ne 0,\,\,x\in (-\infty ,\,\,a)\cup (a,b)\cup (b,\,+\infty )$ άρα σαν συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε διάστημα , έτσι αφού

$-1\in (-\infty ,\,\,a)$ και $g(-1)=-e-\frac{1}{e}e+e=-\frac{1}{e}<0$ είναι $g(x)<0,\,\,x<a$ και

$0\in (a,\,b)$ με g(0)=0-1+e=e-1>0

άρα $g(x)>0,\,\,a<x<b$ και τέλος

$3\in (b,\,\,+\infty )$ και $g(3)=e(4-{{e}^{2}})<0$ άρα $g(x)<0,\,\,x>b$ έτσι έχουμε

$d(x)=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{g(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,\,\,\,\,x<a,\,\,x>b \\ & \frac{g(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,a\le x\le b \\ \end{matrix} \right.$ που είναι παραγωγίσιμη για

$x\in (-\infty ,\,\,a)\cup (a,b)\cup (b,\,+\infty )$ με ${d}'(x)=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{{g}'(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,x<a,\,\,x>b \\ & \,\,\,\,\frac{{g}'(x)}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,a<x<b \\ \end{matrix} \right.$ ή

${d}'(x)=\left\{ \begin{matrix} & -\frac{e-{{e}^{x}}}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,x<a,\,\,x>b \\ & \,\,\,\,\frac{e-{{e}^{x}}}{\sqrt{{{e}^{2}}+1}},\,\,\,a<x<b \\ \end{matrix} \right.$

και αφού $1\in (a,b)$ και έχουμε ότι ${d}'(x)=0\Leftrightarrow x=1$ είναι ${d}'(x)<0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,\,\alpha ),\,\,x\in (1,\,b)$

άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στα $x\in (-\infty ,\,\alpha ],\,\,[1,\,b]$ και ακόμη είναι

${d}'(x)>0\Leftrightarrow x\in (\alpha ,\,\,1),\,\,x\in (b,\,\,+\infty )$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στα $[\alpha ,\,\,1],\,\,[b,\,\,+\infty )$

οπότε παρουσιάζει ελάχιστο στα $x=a,\,\,x=b$ το $g(\alpha )=g(b)=0$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ακρότατα και απόσταση

Ακρότατα και απόσταση

Re: Ακρότατα και απόσταση

Μέλη σε σύνδεση