Με απλά υλικά (10)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (10)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιούλ 21, 2018 8:52 pm

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \displaystyle a και η συνάρτηση με τύπο
\displaystyle f(x)={{e}^{2x}}+(2-2a){{e}^{x}}-2ax+2a-3 , για κάθε \displaystyle x\in R .
Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle f(x)=0 .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Με απλά υλικά (10)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιούλ 22, 2018 12:57 am

exdx έγραψε:
Σάβ Ιούλ 21, 2018 8:52 pm
Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \displaystyle a και η συνάρτηση με τύπο
\displaystyle f(x)={{e}^{2x}}+(2-2a){{e}^{x}}-2ax+2a-3 , για κάθε \displaystyle x\in R .
Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \displaystyle f(x)=0 .
...μια απλή...αντιμετώπιση...γεια σου Γιώργη

Είναι η συνάρτηση f παραγωγίσιμη με {f}'(x)=2{{e}^{2x}}+(2-2a){{e}^{x}}-2a=2\left[ {{e}^{2x}}+(1-a){{e}^{x}}-a \right]

και επειδή οι ρίζες του τριωνύμου {{x}^{2}}+(1-a)x-a είναι οι -1,\,a ή {f}'(x)=2({{e}^{x}}+1)({{e}^{x}}-a)

Τώρα αν a\le 0 είναι {f}'(x)>0,\,\,x\in R και η f είναι γνήσια αύξουσα στο Rοπότε επειδή f(0)=0 έχει μοναδική ρίζα την x=0

Τώρα αν a>0 είναι η {f}'(x)=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}-a=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}=a\Leftrightarrow x=\ln a μοναδική ρίζα της {f}'(x)=0 θα

είναι {f}'(x)>0\Leftrightarrow x>\ln a και η f γνήσια αύξουσα στο [\ln a,\,\,+\infty ) και θα είναι {f}'(x)<0\Leftrightarrow x<\ln a και η

f γνήσια φθίνουσα στο (-\infty ,\,\,\ln a] έτσι θα έχει ελάχιστη τιμή την f(\ln a)={{a}^{2}}+(2-2a)a-2a\ln a+2a-3=-{{a}^{2}}+4a-3-2a\ln a

Τώρα για την συνάρτηση g(x)=-{{x}^{2}}+4x-3-2x\ln x,x>0που είναι παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=-2x+4-2\ln x-2=2(-x+1-\ln x),x>0

και για 0<x<1\Rightarrow 1-x>0,\ln x<0 άρα {g}'(x)>0 και g είναι γνήσια αύξουσα στο (0,\,\,1]και για x>1\Rightarrow 1-x<0,\,\,\ln x>0 άρα

{g}'(x)<0 και g είναι γνήσια φθίνουσα στο [1,\,+\infty ) άρα g(1)=0 μέγιστο της g άρα g(x)\le 0,\,\,x>0 με το ίσο μόνο για x=1

άρα και f(\ln a)\le 0 με το ίσο όταν a=1 και τότε θα έχει μοναδική ρίζα πάλι το x=0

Όταν τώρα 0<a<1 επειδή f(\ln a)<0 και \ln a<0θα έχει δύο ρίζες μία {{x}_{1}}<0 και την x=0 και όταν a>1 επειδή

f(\ln a)<0 και \ln a>0θα έχει πάλι δύο ρίζες μία {{x}_{2}}>0 και την x=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης