Με απλά υλικά (10)

#1

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση με τύπο
$\displaystyle f(x)={{e}^{2x}}+(2-2a){{e}^{x}}-2ax+2a-3$ , για κάθε $\displaystyle x\in R$ .
Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle f(x)=0$ .

#2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 21, 2018 8:52 pm
Δίνεται ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle a$ και η συνάρτηση με τύπο
$\displaystyle f(x)={{e}^{2x}}+(2-2a){{e}^{x}}-2ax+2a-3$ , για κάθε $\displaystyle x\in R$ .
Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle f(x)=0$ .

...μια απλή...αντιμετώπιση...γεια σου Γιώργη

Είναι η συνάρτηση

παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=2{{e}^{2x}}+(2-2a){{e}^{x}}-2a=2\left[ {{e}^{2x}}+(1-a){{e}^{x}}-a \right]$

και επειδή οι ρίζες του τριωνύμου ${{x}^{2}}+(1-a)x-a$ είναι οι $-1,\,a$ ή ${f}'(x)=2({{e}^{x}}+1)({{e}^{x}}-a)$

Τώρα αν $a\le 0$ είναι ${f}'(x)>0,\,\,x\in R$ και η

είναι γνήσια αύξουσα στο

οπότε επειδή f(0)=0

έχει μοναδική ρίζα την x=0

Τώρα αν

είναι η ${f}'(x)=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}-a=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}=a\Leftrightarrow x=\ln a$ μοναδική ρίζα της

θα

είναι ${f}'(x)>0\Leftrightarrow x>\ln a$ και η

γνήσια αύξουσα στο $[\ln a,\,\,+\infty )$ και θα είναι ${f}'(x)<0\Leftrightarrow x<\ln a$ και η

γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,\,\,\ln a]$ έτσι θα έχει ελάχιστη τιμή την $f(\ln a)={{a}^{2}}+(2-2a)a-2a\ln a+2a-3=-{{a}^{2}}+4a-3-2a\ln a$

Τώρα για την συνάρτηση $g(x)=-{{x}^{2}}+4x-3-2x\ln x,x>0$ που είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=-2x+4-2\ln x-2=2(-x+1-\ln x),x>0$

και για $0<x<1\Rightarrow 1-x>0,\ln x<0$ άρα {g}'(x)>0

και

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,1]$ και για $x>1\Rightarrow 1-x<0,\,\,\ln x>0$ άρα

{g}'(x)<0

και

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[1,\,+\infty )$ άρα g(1)=0

μέγιστο της

άρα $g(x)\le 0,\,\,x>0$ με το ίσο μόνο για x=1

άρα και $f(\ln a)\le 0$ με το ίσο όταν a=1

και τότε θα έχει μοναδική ρίζα πάλι το x=0

Όταν τώρα

επειδή $f(\ln a)<0$ και $\ln a<0$ θα έχει δύο ρίζες μία ${{x}_{1}}<0$ και την x=0

και όταν

επειδή

$f(\ln a)<0$ και $\ln a>0$ θα έχει πάλι δύο ρίζες μία ${{x}_{2}}>0$ και την x=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Με απλά υλικά (10)

Με απλά υλικά (10)

Re: Με απλά υλικά (10)

Μέλη σε σύνδεση