Παραλλαγή στο Θέμα Δ

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Παραλλαγή στο Θέμα Δ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Αύγ 09, 2018 7:50 pm

Δίνεται ο αριθμός \alpha \in R και η συνάρτηση f\left( x \right)=2{{e}^{x-\alpha }}-{{x}^{2}}, x\in \mathbb{R}.
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του \alpha η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής και να βρείτε την εξίσωση της γραμμής {{C}_{1}} στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε για ποιες τιμές του \alpha υπάρχουν μοναδικά {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R} με {{x}_{1}}<{{x}_{2}}, τέτοια ώστε η συνάρτηση f να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο {{x}_{1}} και τοπικό ελάχιστο στο {{x}_{2}}.
Δ3. α) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής {{C}_{2}} στην οποία ανήκουν τα σημεία A({{x}_{1}},f({{x}_{1}})),\,\,B({{x}_{2}},f({{x}_{2}}))
β) Να βρείτε σε ποιο τμήμα της {{C}_{2}} ανήκει το A και σε ποιο το B.
Δ4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=f(1) όταν το \alpha διατρέχει το R.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραλλαγή στο Θέμα Δ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Αύγ 09, 2018 9:21 pm

exdx έγραψε:
Πέμ Αύγ 09, 2018 7:50 pm
Δίνεται ο αριθμός \alpha \in R και η συνάρτηση f\left( x \right)=2{{e}^{x-\alpha }}-{{x}^{2}}, x\in \mathbb{R}.
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του \alpha η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής και να βρείτε την εξίσωση της γραμμής {{C}_{1}} στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε για ποιες τιμές του \alpha υπάρχουν μοναδικά {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R} με {{x}_{1}}<{{x}_{2}}, τέτοια ώστε η συνάρτηση f να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο {{x}_{1}} και τοπικό ελάχιστο στο {{x}_{2}}.
Δ3. α) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής {{C}_{2}} στην οποία ανήκουν τα σημεία A({{x}_{1}},f({{x}_{1}})),\,\,B({{x}_{2}},f({{x}_{2}}))
β) Να βρείτε σε ποιο τμήμα της {{C}_{2}} ανήκει το A και σε ποιο το B.
Δ4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=f(1) όταν το \alpha διατρέχει το R.

1. Είναι {f}''(x)=2(e^{x-a}-1). Λύνοντας την εξίσωση {f}''(x)=0 βρίσκουμε λύση την x=a. Για x>a είναι

{f}''(x)>0 ενώ για x<a είναι {f}''(x)<0. Από τα τελευταία παίρνουμε ότι το (a,f(a))=(a,2-a^2) είναι σημείο καμπής.

Για x=a,y=2-a^2 βρίσκουμε y=2-x^2 που είναι η ζητούμενη εξίσωση της C_1.


2. Πρέπει η {f}'(x)=0\Leftrightarrow e^{x-a}-x=0 να έχει δύο ακριβώς λύσεις. Επειδή το αριστερό μέλος είναι θετικό

θα αναζητήσουμε λύσεις στο (0,+\infty ). Για a<  1 από την γνωστή e^x\geq x+1 έχουμε

e^{x-a}-x\geq x-a+1-x=1-a > 0 δηλαδή έχουμε αδύνατη εξίσωση. Για a= 1 έχουμε e^{x-1}-x\geq x-x=0

με την ισότητα μόνο για x=a=1 (άρα μία μόνο ρίζα).Βλέπουμε λοιπόν ότι η αν η {f}'(x)=0 έχει δύο ακριβώς ρίζες τότε a> 1.

Θα δείξουμε ότι ισχύει και το αντίστροφο. Πράγματι για a> 1 έχουμε {f}'(1)=2(e^{1-a}-1) αλλά e^{1-a}-1 < 0 γιατί η

τελευταία είναι ισοδύναμη με την a>1. Άρα {f}'(1)<0. (1) Επίσης

\lim_{x\rightarrow \pm \infty }{f}'(x)=2\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\left (e^{x-a}-x \right )=+\infty (2).

Συνδυάζοντας τα (1),(2) και χρησιμοποιώντας το Θ.BOLZANO βλέπουμε (λόγω συνέχειας της {f}') ότι η {f}'(x)=0 έχει

τουλάχιστον δύο ρίζες όταν a> 1. Τρεις όμως δεν μπορεί να έχει γιατί από Θ.ROLLE θα είχαμε ότι η

{f''(x)=0\Leftrightarrow 2(e^{x-a}-1)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες (άτοπο από 1). Εναλλακτικά από τη μονοτονία

της f' (από το 1 ξέρουμε την f'') στα διαστήματα (-\infty ,a),(a,+\infty ) και τη

(2) πάλι καταλήγουμε στο γεγονός ότι η f' έχει ακριβώς δύο ρίζες, μια στο (0 ,a) και μια

στο (a,+\infty ). Άρα αν a> 1 τότε η {f}'(x)=0 έχει δύο ακριβώς ρίζες τις οποίες ας τις πούμε x_1,x_2 με

0<x_1<1<a<x_2. Εύκολα βλέπουμε ότι από τη συνέχεια της {f}' και από τις (1),(2) ότι {f}'(x)<0 για κάθε

x\in (x_1,x_2) και {f}'(x)>0 για κάθε x\in (-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty ). Επομένως το x_1 είναι θέση τοπικού

μεγίστου και το x_2 είναι θέση τοπικού ελαχίστου.


Συνέχεια...


3.α Τα x_1,x_2 προέκυψαν από τη λύση της {f}'(x)=0 \Leftrightarrow e^{x-a}=x. Επομένως,

x_1=e^{x_1-a},x_2=e^{x_2-a} δηλαδή A(x_1,f(x_1))=(x_1,2e^{x_1-a}-x_1^2)=(x_1,2x_1-x_1^2) και

B(x_2,f(x_2))=(x_2,2e^{x_2-a}-x_2^2)=(x_2,2x_2-x_2^2). Είναι φανερό τώρα ότι η C_2 έχει εξίσωση

y=2x-x^2=x(2-x),x>0.


3.β Έχουμε ήδη αποδείξει ότι 0<x_1<1<a<x_2. Επομένως το A βρίσκεται στο τμήμα της C_2

ανάμεσα στις κατακόρυφες ευθείες x=0,x=1 ενώ το B στο τμήμα της C_2 δεξιά της

κατακόρυφης ευθείας x=1.


4. Θεωρούμε την h(x)=f(x)-f(1),x\in R για την οποία ισχύει {h}'(x)={f}'(x).


Για a<1 έχουμε δείξει στο 2 ότι {f}'(x)=2( e^{x-a}-x)>0 οπότε η h είναι

γνησίως αύξουσα. Είναι όμως \lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=+\infty ,\lim_{x\rightarrow -\infty }h(x)=-\infty (3)

και επομένως από τη συνέχεια, τη μονοτονία της h και το γεγονός ότι 0\in h(R)=R (από (3))

παίρνουμε μια μόνο ρίζα της h. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι a=1 αφού τότε

θα είναι {h}'(x)={f}'(x)\geq 0 με ισότητα μόνο για x=1. Πάμε για a>1. Για σταθερό

a η h και η f έχουν τις ίδιες θέσεις τοπικού μεγίστου και ελαχίστου x_1,x_2

αφού διαφέρουν κατά τη σταθερά f(1) (έχουν ίδια παράγωγο άρα οι εξισώσεις {h}'(x)=0,{f}'(x)=0

έχουν ίδιες ρίζες κ.λ.π.). Δείχνουμε τώρα ότι για a>1 είναι h(x_1) >0 και h(x_2) < 0. Από

την x_1<1<x_2 και ο γεγονός ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (x_1,x_2) παίρνουμε

f(x_1)>f(1)>f(x_2)\Rightarrow h(x_1)=f(x_1)-f(1)>0,h(x_2)=f(x_2)-f(1)<0. Το τελευταίο αποτέλεσμα σε

συνδυασμό με την (3) τη συνέχεια της h και τη μονοτονία της (που είναι ίδια με τη μονοτονία της

f λόγω κοινής παραγώγου) μας δίνει τελικά ότι η h έχει τρεις ρίζες για a>1 οι οποίες

βρίσκονται συγκεκριμένα στα διαστήματα (-\infty ,x_1),(x_1,x_2),(x_2,+\infty ).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες