Παραλλαγή στο Θέμα Δ

#1

Δίνεται ο αριθμός $\alpha \in R$ και η συνάρτηση $f\left( x \right)=2{{e}^{x-\alpha }}-{{x}^{2}}$ , $x\in \mathbb{R}$ .
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του $\alpha$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης

έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής και να βρείτε την εξίσωση της γραμμής ${{C}_{1}}$ στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε για ποιες τιμές του $\alpha$ υπάρχουν μοναδικά ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R}$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ , τέτοια ώστε η συνάρτηση

να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ${{x}_{1}}$ και τοπικό ελάχιστο στο ${{x}_{2}}$ .
Δ3. α) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής ${{C}_{2}}$ στην οποία ανήκουν τα σημεία $A({{x}_{1}},f({{x}_{1}})),\,\,B({{x}_{2}},f({{x}_{2}}))$
β) Να βρείτε σε ποιο τμήμα της ${{C}_{2}}$ ανήκει το

και σε ποιο το

.
Δ4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=f(1)

όταν το $\alpha$ διατρέχει το

.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 09, 2018 7:50 pm
Δίνεται ο αριθμός $\alpha \in R$ και η συνάρτηση $f\left( x \right)=2{{e}^{x-\alpha }}-{{x}^{2}}$ , $x\in \mathbb{R}$ .
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του $\alpha$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής και να βρείτε την εξίσωση της γραμμής ${{C}_{1}}$ στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε για ποιες τιμές του $\alpha$ υπάρχουν μοναδικά ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R}$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ , τέτοια ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ${{x}_{1}}$ και τοπικό ελάχιστο στο ${{x}_{2}}$ .
Δ3. α) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής ${{C}_{2}}$ στην οποία ανήκουν τα σημεία $A({{x}_{1}},f({{x}_{1}})),\,\,B({{x}_{2}},f({{x}_{2}}))$
β) Να βρείτε σε ποιο τμήμα της ${{C}_{2}}$ ανήκει το και σε ποιο το .
Δ4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης όταν το $\alpha$ διατρέχει το .

1. Είναι ${f}''(x)=2(e^{x-a}-1).$ Λύνοντας την εξίσωση {f}''(x)=0

βρίσκουμε λύση την x=a

. Για

είναι

ενώ για

είναι

. Από τα τελευταία παίρνουμε ότι το (a,f(a))=(a,2-a^2)

είναι σημείο καμπής.

Για x=a,y=2-a^2

βρίσκουμε

που είναι η ζητούμενη εξίσωση της C_1.

2. Πρέπει η ${f}'(x)=0\Leftrightarrow e^{x-a}-x=0$ να έχει δύο ακριβώς λύσεις. Επειδή το αριστερό μέλος είναι θετικό

θα αναζητήσουμε λύσεις στο $(0,+\infty ).$ Για a< 1

από την γνωστή $e^x\geq x+1$ έχουμε

$e^{x-a}-x\geq x-a+1-x=1-a > 0$ δηλαδή έχουμε αδύνατη εξίσωση. Για a= 1

έχουμε $e^{x-1}-x\geq x-x=0$

με την ισότητα μόνο για x=a=1

(άρα μία μόνο ρίζα).Βλέπουμε λοιπόν ότι η αν η {f}'(x)=0

έχει δύο ακριβώς ρίζες τότε a> 1

.

Θα δείξουμε ότι ισχύει και το αντίστροφο. Πράγματι για a> 1

έχουμε ${f}'(1)=2(e^{1-a}-1)$ αλλά $e^{1-a}-1 < 0$ γιατί η

τελευταία είναι ισοδύναμη με την a>1.

Άρα

Επίσης

$\lim_{x\rightarrow \pm \infty }{f}'(x)=2\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\left (e^{x-a}-x \right )=+\infty$ (2)

.

Συνδυάζοντας τα (1),(2)

και χρησιμοποιώντας το Θ.BOLZANO βλέπουμε (λόγω συνέχειας της {f}'

) ότι η

έχει

τουλάχιστον δύο ρίζες όταν a> 1

. Τρεις όμως δεν μπορεί να έχει γιατί από Θ.ROLLE θα είχαμε ότι η

${f''(x)=0\Leftrightarrow 2(e^{x-a}-1)=0$ έχει τουλάχιστον δύο ρίζες (άτοπο από 1). Εναλλακτικά από τη μονοτονία

της

(από το 1 ξέρουμε την f''

) στα διαστήματα $(-\infty ,a),(a,+\infty )$ και τη

(2)

πάλι καταλήγουμε στο γεγονός ότι η

έχει ακριβώς δύο ρίζες, μια στο (0 ,a)

και μια

στο $(a,+\infty ).$ Άρα αν a> 1

τότε η

έχει δύο ακριβώς ρίζες τις οποίες ας τις πούμε x_1,x_2

με

Εύκολα βλέπουμε ότι από τη συνέχεια της {f}'

και από τις (1),(2)

ότι

για κάθε

$x\in (x_1,x_2)$ και {f}'(x)>0

για κάθε $x\in (-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty ).$ Επομένως το x_1

είναι θέση τοπικού

μεγίστου και το x_2

είναι θέση τοπικού ελαχίστου.

Συνέχεια...

3.α Τα x_1,x_2

προέκυψαν από τη λύση της ${f}'(x)=0 \Leftrightarrow e^{x-a}=x.$ Επομένως,

$x_1=e^{x_1-a},x_2=e^{x_2-a}$ δηλαδή $A(x_1,f(x_1))=(x_1,2e^{x_1-a}-x_1^2)=(x_1,2x_1-x_1^2)$ και

$B(x_2,f(x_2))=(x_2,2e^{x_2-a}-x_2^2)=(x_2,2x_2-x_2^2).$ Είναι φανερό τώρα ότι η C_2

έχει εξίσωση

y=2x-x^2=x(2-x),x>0

.

3.β Έχουμε ήδη αποδείξει ότι 0<x_1<1<a<x_2.

Επομένως το

βρίσκεται στο τμήμα της C_2

ανάμεσα στις κατακόρυφες ευθείες x=0,x=1

ενώ το

στο τμήμα της C_2

δεξιά της

κατακόρυφης ευθείας x=1.

4. Θεωρούμε την $h(x)=f(x)-f(1),x\in R$ για την οποία ισχύει {h}'(x)={f}'(x).

Για

έχουμε δείξει στο 2 ότι ${f}'(x)=2( e^{x-a}-x)>0$ οπότε η

είναι

γνησίως αύξουσα. Είναι όμως $\lim_{x\rightarrow +\infty }h(x)=+\infty ,\lim_{x\rightarrow -\infty }h(x)=-\infty$ (3)

και επομένως από τη συνέχεια, τη μονοτονία της

και το γεγονός ότι $0\in h(R)=R$ (από (3)

)

παίρνουμε μια μόνο ρίζα της

. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι a=1

αφού τότε

θα είναι ${h}'(x)={f}'(x)\geq 0$ με ισότητα μόνο για x=1.

Πάμε για

Για σταθερό

η

και η

έχουν τις ίδιες θέσεις τοπικού μεγίστου και ελαχίστου x_1,x_2

αφού διαφέρουν κατά τη σταθερά f(1)

(έχουν ίδια παράγωγο άρα οι εξισώσεις {h}'(x)=0,{f}'(x)=0

έχουν ίδιες ρίζες κ.λ.π.). Δείχνουμε τώρα ότι για a>1

είναι

και

Από

την x_1<1<x_2

και ο γεγονός ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (x_1,x_2)

παίρνουμε

$f(x_1)>f(1)>f(x_2)\Rightarrow h(x_1)=f(x_1)-f(1)>0,h(x_2)=f(x_2)-f(1)<0.$ Το τελευταίο αποτέλεσμα σε

συνδυασμό με την (3)

τη συνέχεια της

και τη μονοτονία της (που είναι ίδια με τη μονοτονία της

λόγω κοινής παραγώγου) μας δίνει τελικά ότι η

έχει τρεις ρίζες για a>1

οι οποίες

βρίσκονται συγκεκριμένα στα διαστήματα $(-\infty ,x_1),(x_1,x_2),(x_2,+\infty ).$

Παραλλαγή στο Θέμα Δ

Παραλλαγή στο Θέμα Δ

Re: Παραλλαγή στο Θέμα Δ

Μέλη σε σύνδεση