Με απλά υλικά (13)

#1

Από ένα φύλλο λαμαρίνας με εμβαδόν $\displaystyle 16\,\,\tau .\mu .$ πρόκειται να κατασκευαστεί ένα κουτί , κλειστό από επάνω .
Για το σκοπό αυτό αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δύο ορθογώνια , όπως φαίνεται στο σχήμα και λυγίζουμε κατάλληλα το τμήμα
της λαμαρίνας που απομένει .
Να βρείτε τις διαστάσεις της λαμαρίνας που επιτυγχάνουν το μέγιστο δυνατό όγκο του κουτιού .

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 1:19 pm Από ένα φύλλο λαμαρίνας με εμβαδόν $\displaystyle 16\,\,\tau .\mu .$ πρόκειται να κατασκευαστεί ένα κουτί , κλειστό από επάνω .
Για το σκοπό αυτό αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δύο ορθογώνια , όπως φαίνεται στο σχήμα και λυγίζουμε κατάλληλα το τμήμα
της λαμαρίνας που απομένει .
Να βρείτε τις διαστάσεις της λαμαρίνας που επιτυγχάνουν το μέγιστο δυνατό όγκο του κουτιού .

Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Έστω a=t

. Τότε $b=\dfrac{16}{t}$ .
Οι διαστάσεις του κουτιού είναι : x_1 =x

, $x_2=\dfrac{t}{2}-x$ και $x_3=\dfrac{16}{t}-2x$ .
Ο όγκος του κουτιού είναι : $V(t)=x_1\cdot x_2\cdot x_3= 8x-tx^2-16x^2\cdot \dfrac{1}{t}+2x^3$
Η

είναι παραγωγίσιμη με $V΄(t)=\dfrac{x^2}{t^2}\cdot (16-t^2)$ .
Θεωρώντας την f(t)=16-t^2

και μελετώντας την μονοτονία της βρίσκουμε ότι παρουσιάζει στην θέση t_o=4

,
ολικό μέγιστο.
Άρα οι ζητουμενες διαστάσεις είναι a=b=4

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Σταμάτη, ίσως δεν βλέπω κάτι.

Πρώτον, στο σημείο

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm
Ο όγκος του κουτιού είναι : $V(t)=x_1\cdot x_2\cdot x_3= 8x-tx^2-16x^2\cdot \dfrac{1}{t}+2x^3$
Η είναι παραγωγίσιμη με $V΄(t)=\dfrac{x^2}{t^2}\cdot (16-t^2)$ .

έχεις παραγωγίσει ως προς

κρατώντας το

σταθερό. Επιτρέπεται αυτό;

Δεύτερον λες

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm
Θεωρώντας την και μελετώντας την μονοτονία της βρίσκουμε ότι παρουσιάζει στην θέση ,
ολικό μέγιστο.

Σίγουρα όμως στο t_o=4

δεν έχουμε ολικό μέγιστο. Εκεί η f(t)=16-t^2

έχει $f'(4)= -2\cdot 4 \ne 0$ .

Χάνω κάτι;

Λάμπρος Κατσάπας · #4

exdx έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 1:19 pm Από ένα φύλλο λαμαρίνας με εμβαδόν $\displaystyle 16\,\,\tau .\mu .$ πρόκειται να κατασκευαστεί ένα κουτί , κλειστό από επάνω .
Για το σκοπό αυτό αποκόπτουμε δύο τετράγωνα και δύο ορθογώνια , όπως φαίνεται στο σχήμα και λυγίζουμε κατάλληλα το τμήμα
της λαμαρίνας που απομένει .
Να βρείτε τις διαστάσεις της λαμαρίνας που επιτυγχάνουν το μέγιστο δυνατό όγκο του κουτιού .

Καλησπέρα.

Θα παραλείψω κάποιες (εύκολες) πράξεις ώστε η λύση να είναι πιο εύκολα αναγνώσιμη. Θα συμβολίσω

t:=a+b.

Από τη γνωστή $a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 2\sqrt{16}=8$ παίρνουμε $t\geq 8.$ (1)

Επίσης, συμβολίζω με

το πλάτος της βάσης του κουτιού και με

το μήκος. Από το σχήμα είναι

φανερό ότι ισχύει 2x+2c=a,2x+d=b

(*) καθώς επίσης και $0<x<\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).$ (2)

Ο όγκος τότε θα είναι $V(x)=xcd=x\frac{a-2x}{x}(b-2x)=...=2x^3-tx^2+8x.$ Παραγωγίζοντας παίρνουμε

${V}'(x)=6x^2-2tx+8.$ Το τριώνυμο έχει $\Delta =4(t^2-48)\geq 4(8^2-48)>0$ και επομένως έχει δύο

πραγματικές και άνισες ρίζες τις $\frac{t\pm \sqrt{t^2-48}}{6}$ οι οποίες είναι θετικές αφού

$\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} >0\Leftrightarrow t>\sqrt{t^2-48}\Leftrightarrow 0>-48$ (που ισχύει) και η δεύτερη είναι

προφανές ότι είναι θετική. Όμως για τη δεύτερη έχουμε το εξής:

Από την (2)

παίρνουμε $2x<\frac{a+b}{2}\Rightarrow x<\frac{t}{4}.$ Τώρα βλέπουμε ότι

$\frac{t+ \sqrt{t^2-48}}{6} \geq \frac{t}{4}\Leftrightarrow ...t\geq 8$ (που ισχύει από (1)

) οπότε η δεύτερη ρίζα

θα πρέπει να απορριφθεί. Η πρώτη έχει λίγο δουλίτσα (τουλάχιστον όπως το έκανα εγώ). Θα δείξουμε ότι

$\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}<\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).$ Έχουμε

$\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}<\frac{a}{2}\Leftrightarrow a+\frac{16}{a}- \sqrt{(1+\frac{16}{a})^2-48}<3a\Leftrightarrow \sqrt{(1+\frac{16}{a})^2-48}>\frac{16}{a}-2a.$ (3)

Για $\frac{16}{a}-2a\leq 0\Leftrightarrow a\geq \sqrt{8}$ η παραπάνω είναι αληθής ενώ για $a< \sqrt{8}$

η (3)

είναι ισοδύναμη (υψώνοντας στο τετράγωνο) με την $\left (1+\frac{16}{a} \right )^2-48>\left (\frac{16}{a}-2 a \right )^2 \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a<4$

(που ισχύει) Οπότε αν $b\geq a$ έχουμε $\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\frac{a}{2}\leq \frac{b}{2}\Rightarrow \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).$

Αν b<a

ξεκινώντας από την $\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\frac{b}{2}$ δείχνουμε πάλι ότι ισχύει για κάθε b>0

και τότε πάλι θα είναι $\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\frac{b}{2}< \frac{a}{2}\Rightarrow \frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6} <\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).$

Σε κάθε περίπτωση μόνο η $\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}$ είναι δεκτή και εύκολα τώρα βλέπουμε ότι ισχύει

{V}'(x)>0

για $0<x<\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}$ και {V}'(x)<0

για $\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6}<x<\min (\frac{a}{2},\frac{b}{2}).$

Άρα η θέση μεγίστου είναι η $x:x(t)=\frac{t- \sqrt{t^2-48}}{6},t\geq 8.$

Βάζοντας το x(t)

στη θέση του

στον τύπο του όγκου παίρνουμε V(x(t))=2x^3(t)-tx^2(t)+8x(t).

Για κάθε $t\geq8$ ο παραπάνω μας δίνει τον μέγιστο όγκο όταν a+b=t

. Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι $\max_{t\geq 8} V(x(t))=V(x(8)).$

Από μια πρόχειρη γραφική παράσταση σε πρόγραμμα (δεν κάθισα να την μελετήσω με το χέρι γιατί βγαίνει ένα ''τέρας'')

φαίνεται ότι η V(x(t))

είναι γνησίως φθίνουσα ως προς

οπότε επιλέγουμε για τον μέγιστο όγκο το

$t=8\Rightarrow a+b=8\Rightarrow a=b=4.$

Σταμ. Γλάρος · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 5:24 pm Σταμάτη, ίσως δεν βλέπω κάτι.

Πρώτον, στο σημείο

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm
Ο όγκος του κουτιού είναι : $V(t)=x_1\cdot x_2\cdot x_3= 8x-tx^2-16x^2\cdot \dfrac{1}{t}+2x^3$
Η είναι παραγωγίσιμη με $V΄(t)=\dfrac{x^2}{t^2}\cdot (16-t^2)$ .
έχεις παραγωγίσει ως προς κρατώντας το σταθερό. Επιτρέπεται αυτό;

Δεύτερον λες

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Κυρ Αύγ 12, 2018 2:12 pm
Θεωρώντας την και μελετώντας την μονοτονία της βρίσκουμε ότι παρουσιάζει στην θέση ,
ολικό μέγιστο.
Σίγουρα όμως στο δεν έχουμε ολικό μέγιστο. Εκεί η έχει $f'(4)= -2\cdot 4 \ne 0$ .

Χάνω κάτι;

Καλησπέρα. Μόλις τώρα μπήκα στο

.
Έχετε δίκιο κ. Λάμπρου . Δεν χρειαζόταν να θεωρήσω την συνάρτηση f(t)

.
Το συμπέρασμα προκύπτει από την μελέτη του προσήμου της V'(t)

.
Επίσης θεώρησα το

ως σταθερά.
Μετά την επισήμανσή σας, δεν ξέρω εάν έχω το δικαίωμα...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Με απλά υλικά (13)

Με απλά υλικά (13)

Re: Με απλά υλικά (13)

Re: Με απλά υλικά (13)

Re: Με απλά υλικά (13)

Re: Με απλά υλικά (13)

Μέλη σε σύνδεση