Όριο

pito · #1

Καλημέρα

.

Να βρεθεί το $lim_{x\rightarrow +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})$ .

Ευχαριστώ.

Tolaso J Kos · #2

pito έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 11:38 am
Καλημέρα .

Να βρεθεί το $lim_{x\rightarrow +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})$ .

Ευχαριστώ.

Για

θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ . H

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [x^2, x^2+1]

. Συνεπώς υπάρχει $\xi_x \in (x^2, x^2+1)$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f'\left ( \xi_x \right ) = \frac{f\left ( x^2+1 \right ) - f\left ( x \right )}{x^2+1-x} = e^{\sqrt{x^2+1}} - e^{\sqrt{x^2}} = e^{\sqrt{x^2+1}} - e^x}$
Όμως, $\displaystyle{f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}$ . Συνεπώς ,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( e^{\sqrt{x^2+1}} - e^x \right ) &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f ' \left ( \xi_x \right ) \\ &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^{\sqrt{\xi_x}}}{2\sqrt{\xi_x}} \\ &\!\overset{(*)}{=} +\infty \end{aligned}}$

(*)

Γιατί;

#3

pito έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 11:38 am
Να βρεθεί το $lim_{x\rightarrow +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})$ .

Παραλλαγή αλλά χωρίς χρήση υπαρξιακού θεωρήματος. Στην θέση του χρήση της $e^t\ge 1+t$ . Επίσης θα χρησιμοποιήσω ότι για $x\ge 1$ ισχύει (με πολύ περίσσευμα) $\sqrt {x^2+1} \le 2x$ (οι δύσπιστοι, υψώστε στο τετράγωνο). Έτσι

$\displaystyle{\sqrt {x^{2}+1}} - x = \frac {1}{\sqrt {x^2+1}+x}\ge \frac {1}{3x}}$ .

Έχουμε

$\displaystyle{e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}= e^{x}\left ( e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1 \right ) \ge e^{x}\left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right ) \ge \frac {e^x}{3x} \to +\infty}$

KARKAR · #4

Δείτε τις σχετικές συζητήσεις εδώ αλλά και εκεί .

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 12:11 pm

pito έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 11:38 am
Καλημέρα .

Να βρεθεί το $lim_{x\rightarrow +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})$ .

Ευχαριστώ.
Για θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ . H είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα . Συνεπώς υπάρχει $\xi_x \in (x^2, x^2+1)$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f'\left ( \xi_x \right ) = \frac{f\left ( x^2+1 \right ) - f\left ( x \right )}{x^2+1-x} = e^{\sqrt{x^2+1}} - e^{\sqrt{x^2}} = e^{\sqrt{x^2+1}} - e^x}$
Όμως, $\displaystyle{f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}$ . Συνεπώς ,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( e^{\sqrt{x^2+1}} - e^x \right ) &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f ' \left ( \xi_x \right ) \\ &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^{\sqrt{\xi_x}}}{2\sqrt{\xi_x}} \\ &\!\overset{(*)}{=} +\infty \end{aligned}}$
Γιατί;

Καλησπέρα σε όλους.

Αν είναι εύκολο, ας δώσει κάποιος μερικές πληροφορίες (και βιβλιογραφία) σχετικές με την τεχνική του Αποστόλη στο σημείο όπου υπολογίζεται το όριο του $\lim_{x\rightarrow +\infty} f ' \left ( \xi_x \right )$ .

Ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με τις ιδιότητες του $\xi_x \right$ . Π.χ. είναι συνεχής συνάρτηση του

ή η συμπεριφορά της στο άπειρο ακολουθεί τους κανόνες των ακολουθιών, των οποίων το Π.Ο. είναι σύνολο διακριτών τιμών;

Τεκμηριώνεται αυτό με την ύλη των "σχολικών μαθηματικών";

Ομολογώ ότι δεν θυμάμαι να έχω ξανασυναντήσει αυτήν την τεχνική, γι' αυτό αναζητώ πληροφορίες.
Ευχαριστώ προκαταβολικά.

Λάμπρος Κατσάπας · #6

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 8:41 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Αν είναι εύκολο, ας δώσει κάποιος μερικές πληροφορίες (και βιβλιογραφία) σχετικές με την τεχνική του Αποστόλη στο σημείο όπου υπολογίζεται το όριο του $\lim_{x\rightarrow +\infty} f ' \left ( \xi_x \right )$ .

Ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με τις ιδιότητες του $\xi_x \right$ . Π.χ. είναι συνεχής συνάρτηση του ή η συμπεριφορά της στο άπειρο ακολουθεί τους κανόνες των ακολουθιών, των οποίων το Π.Ο. είναι σύνολο διακριτών τιμών;

Τεκμηριώνεται αυτό με την ύλη των "σχολικών μαθηματικών";

Ομολογώ ότι δεν θυμάμαι να έχω ξανασυναντήσει αυτήν την τεχνική, γι' αυτό αναζητώ πληροφορίες.
Ευχαριστώ προκαταβολικά.

Καλό βράδυ.

Το όριο $\lim_{x\rightarrow +\infty} f ' \left ( \xi_x \right )$ υπάρχει γιατί υπάρχει το όριο της παραγώγου. Εν γένει όταν εφαρμόζουμε ΘΜΤ σε

διαστήματα [f(x),g(x)]

για κάθε

μπορεί να περιέχονται στο διάστημα παραπάνω από ένα $\xi_x$ . Επιλέγοντας ένα

από αυτά (μπορούμε να το κάνουμε με βάση γνωστό αξίωμα) μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση $\xi(x).$ Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η

συνάρτηση από μια πρόχειρη γραφική παράσταση που έκανα είναι κυρτή και για προφανείς λόγους (μπορεί να το καταλάβει κάποιος γεωμετρικά

αλλά αποδεικνύεται κιόλας), για κάθε

, στο διάστημα (x^2,x^2+1)

το $\xi$ είναι μοναδικό (και συνεχής συνάρτηση). Σχολική δεν την θεωρώ τη

λύση μιας και το σημείο αυτό είναι αρκετά λεπτό. Η ενδεδειγμένη λύση είναι κατά τη γνώμη μου του κ. Λάμπρου. Εναλλακτικά θα μπορούσε

κάποιος να παρατηρήσει ότι η παράγωγος από κάποιο x>0

και πέρα είναι γνησίως αύξουσα οπότε $f ' \left ( \xi_x \right ) >f ' \left (x^2 \right )$

και μετά να πάρουμε όριο. Βιβλιογραφία να σας παραπέμψω δυστυχώς δεν έχω. Ελπίζω να βοήθησα.

#7

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 10:50 pm

Σχολική δεν την θεωρώ τη λύση μιας και το σημείο αυτό είναι αρκετά λεπτό.

Ευχαριστώ τον Λάμπρο για την κατατοπιστική επεξήγηση και τον Αποστόλη για το προσωπικό μήνυμα που μού έστειλε.

Η παρέμβασή μου έχει να κάνει με τη συμβατότητα της λύσης με το περιεχόμενο της "σχολικής" ύλης και των εργαλείων που νομιμοποιούνται να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές, εφόσον η συζήτηση γίνεται σε "μαθητικό φάκελο".

Είναι ένα θέμα που μάς έχει πολλές φορές απασχολήσει. Π.χ. δείτε κι εδώ την πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση για το ίδιο περίπου θέμα .

Θα προτιμούσα να υπάρχει μια σχετική επισήμανση στις λύσεις που χρησιμοποιούν μεθόδους ασύμβατες με το Αναλυτικό Πρόγραμμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 10:04 am

Η παρέμβασή μου έχει να κάνει με τη συμβατότητα της λύσης με το περιεχόμενο της "σχολικής" ύλης και των εργαλείων που νομιμοποιούνται να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές, εφόσον η συζήτηση γίνεται σε "μαθητικό φάκελο".

Καλημέρα Γιώργο.

Δεν καταλαβαίνω γιατί οι μαθητές δεν νομιμοποιούνται να χρησιμοποιήσουν εργαλεία που δεν είναι
στην σχολική ύλη.

Στις οδηγίες στο τέλος γράφει

''Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή''

Αν ήταν έτσι όπως το γράφεις νομίζω ότι θα έπρεπε να γράφει

Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη στα πλαίσια της σχολικής ύλης είναι αποδεκτή

#9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 21, 2018 11:08 am

Δεν καταλαβαίνω γιατί οι μαθητές δεν νομιμοποιούνται να χρησιμοποιήσουν εργαλεία που δεν είναι
στην σχολική ύλη.

Στις οδηγίες στο τέλος γράφει

''Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή''

Αν ήταν έτσι όπως το γράφεις νομίζω ότι θα έπρεπε να γράφει

Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη στα πλαίσια της σχολικής ύλης είναι αποδεκτή

Καλημέρα σε όλους.

ΔΕΝ έγραψα ότι οι μαθητές "δεν νομιμοποιούνται (γενικώς) να χρησιμοποιήσουν εργαλεία που δεν είναι στην σχολική ύλη". Ασφαλώς και μπορούν, αν τα τεκμηριώσουν επιστημονικά. Εξάλλου, είμαι από τους τελευταίους που περιορίζουν τις παρεμβάσεις τους στα στενά πλαίσια της "νόμιμης" ύλης και παλαιότερα έχω δεχτεί μομφές γι' αυτό.

Έγραψα ότι "Η παρέμβασή μου έχει να κάνει με τη συμβατότητα της (συγκεκριμένης) λύσης με το περιεχόμενο της "σχολικής" ύλης και των εργαλείων που νομιμοποιούνται να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές, εφόσον η συζήτηση γίνεται σε "μαθητικό φάκελο".

Κινούμενος σε ύδατα που δεν τα γνωρίζω καλά θέτω το εξής ερώτημα:

Αν νομίζετε ότι η συγκεκριμένη λύση είναι συμβατή με τη σχολική ύλη έχει καλώς. Δεν έχει νόημα να το συζητάμε.

Αν όχι, θα ήμουν περίεργος να δω την επιστημονική τεκμηρίωση που θα έκανε ένας μαθητής για να γίνει αποδεκτή στις εξετάσεις.

Π.χ. χρειάζεται ή όχι η λεπτομερής παρουσίαση των σημείων που χρωμάτισα στην απάντηση του Λάμπρου;

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 10:50 pm

(...) Επιλέγοντας ένα από αυτά (μπορούμε να το κάνουμε με βάση γνωστό αξίωμα) μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση $\xi(x).$ Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η συνάρτηση από μια πρόχειρη γραφική παράσταση που έκανα είναι κυρτή και για προφανείς λόγους (μπορεί να το καταλάβει κάποιος γεωμετρικά αλλά αποδεικνύεται κιόλας), για κάθε , στο διάστημα το $\xi$ είναι μοναδικό (και συνεχής συνάρτηση). Σχολική δεν την θεωρώ τη λύση μιας και το σημείο αυτό είναι αρκετά λεπτό.

Απλά ζήτησα το αυτονόητο: "Να υπάρχει μια σχετική επισήμανση στις λύσεις που χρησιμοποιούν μεθόδους ασύμβατες με το Αναλυτικό Πρόγραμμα σε μαθητικό φάκελο".

Ουσιαστικά επανέφερα (δίχως να το θυμάμαι), την πανομοιότυπη συζήτηση ΕΔΩ.

Οπότε η μετάβαση από την "ειδική περίπτωση" που ανέφερα στη "γενικευμένη θεώρηση" που μού απέδωσε ο Σταύρος δεν ανταποκρίνεται στις προθέσεις μου και ζητώ συγνώμη αν παρεξηγήθηκε η πρόθεσή μου.

stranger · #10

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 19, 2018 8:41 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 12:11 pm

pito έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 11:38 am
Καλημέρα .

Να βρεθεί το $lim_{x\rightarrow +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})$ .

Ευχαριστώ.
Για θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = e^{\sqrt{x}}$ . H είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα . Συνεπώς υπάρχει $\xi_x \in (x^2, x^2+1)$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f'\left ( \xi_x \right ) = \frac{f\left ( x^2+1 \right ) - f\left ( x \right )}{x^2+1-x} = e^{\sqrt{x^2+1}} - e^{\sqrt{x^2}} = e^{\sqrt{x^2+1}} - e^x}$
Όμως, $\displaystyle{f'(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}$ . Συνεπώς ,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( e^{\sqrt{x^2+1}} - e^x \right ) &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f ' \left ( \xi_x \right ) \\ &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^{\sqrt{\xi_x}}}{2\sqrt{\xi_x}} \\ &\!\overset{(*)}{=} +\infty \end{aligned}}$
Γιατί;
Καλησπέρα σε όλους.

Αν είναι εύκολο, ας δώσει κάποιος μερικές πληροφορίες (και βιβλιογραφία) σχετικές με την τεχνική του Αποστόλη στο σημείο όπου υπολογίζεται το όριο του $\lim_{x\rightarrow +\infty} f ' \left ( \xi_x \right )$ .

Ο προβληματισμός μου έχει να κάνει με τις ιδιότητες του $\xi_x \right$ . Π.χ. είναι συνεχής συνάρτηση του ή η συμπεριφορά της στο άπειρο ακολουθεί τους κανόνες των ακολουθιών, των οποίων το Π.Ο. είναι σύνολο διακριτών τιμών;

Τεκμηριώνεται αυτό με την ύλη των "σχολικών μαθηματικών";

Ομολογώ ότι δεν θυμάμαι να έχω ξανασυναντήσει αυτήν την τεχνική, γι' αυτό αναζητώ πληροφορίες.
Ευχαριστώ προκαταβολικά.

Το μόνο που χρειάζεται για να τεκμηριωθεί επιστημονικά αυτή η λύση είναι ο ορισμός του ορίου στο $+\infty$ μιας συνάρτησης.Δεν έχει σημασία αν η συνάρτηση $\xi_{x}$ είναι συνεχής η όχι.Αρκεί να ισχύει $\xi_{x} > x^2$ και τότε εφαρμόζεις τον ορισμό του ορίου στο $+\infty$ και έχεις $\lim_{x \rightarrow +\infty}f'(\xi_{x})$ $= \lim_{x \rightarrow +\infty}f'(x)$ .
Θυμίζω τον ορισμό του ορίου
Αν $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ και το $+\infty$ είναι σημείο συσσώρευσης του

τότε έχουμε $f(x) \rightarrow +\infty$ καθώς $x \rightarrow +\infty$ αν και μόνο αν για κάθε K>0

υπάρχει

ώστε για κάθε $x \in A$ με x>M

έχουμε

.
Βέβαια χρειάζεται αξίωμα επιλογής για να σχηματίσεις την συνάρτηση $\xi_{x}$ αλλά δεν νομίζω να του έκοβε καμία μονάδα ο διορθωτής αν δεν το έγραφε αυτό ο μαθητής.Το αξίωμα της επιλογής χρησιμοποιείται σιωπηρά στα σύγχρονα μαθηματικά πολλές φορές και δεν χρειάζεται να το αναφέρεις κάθε φορά που το χρησιμοποιείς.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση