Εφαπτόμενη - Ευθεία

BAGGP93 · #1

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ που έχει την ακόλουθη ιδιότητα. Για κάθε

$\displaystyle{a\,,b\in\mathbb{R}$ με $\displaystyle{a<b}$ η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο

σημείο της $\displaystyle{A(a,f(a))}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{B(b,f(b))}$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν σταθερές $\displaystyle{c_0\,,d_0\in\mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{f(x)=c_0\,x+d_0\,,x\in\mathbb{R}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 7:07 pm
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ που έχει την ακόλουθη ιδιότητα. Για κάθε

$\displaystyle{a\,,b\in\mathbb{R}$ με $\displaystyle{a<b}$ η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο

σημείο της $\displaystyle{A(a,f(a))}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{B(b,f(b))}$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν σταθερές $\displaystyle{c_0\,,d_0\in\mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{f(x)=c_0\,x+d_0\,,x\in\mathbb{R}$

Παίρνουμε τυχόν $a_1 \in \mathbb{R}.$ Από την υπόθεση για κάθε x>a_1

θα ισχύει $f(x)={f}'(a_1)(x-a_1)+f(a_1)$ .

Παίρνουμε τυχόν $a_2 \in \mathbb{R},a_2\neq a_1.$ Τότε για κάθε x>a_2

θα ισχύει $f(x)={f}'(a_2)(x-a_2)+f(a_2)$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κάθε $x>\max(a_1,a_2)$ θα ισχύει

${f}'(a_1)(x-a_1)+f(a_1)={f}'(a_2)(x-a_2)+f(a_2)$

$\Rightarrow \left ({f}'(a_1)-{f}'(a_2) \right )x=f(a_2)-f(a_1)+a_1{f}'(a_1)-a_2{f}'(a_2).$

Το δεξί μέλος είναι σταθερό οπότε ${f}'(a_1)-{f}'(a_2)=0\Rightarrow {f}'(a_1)={f}'(a_2)$ το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο.

#3

BAGGP93 έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 30, 2018 7:07 pm
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ που έχει την ακόλουθη ιδιότητα. Για κάθε

$\displaystyle{a\,,b\in\mathbb{R}$ με $\displaystyle{a<b}$ η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο

σημείο της $\displaystyle{A(a,f(a))}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{B(b,f(b))}$ . Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν σταθερές $\displaystyle{c_0\,,d_0\in\mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{f(x)=c_0\,x+d_0\,,x\in\mathbb{R}$

Νομίζω είναι τετριμμένο, εκτός αν δεν βλέπω κάτι λόγω μεγάλης κούρασης (ξύπνιος από τις 3 το πρωί).

Παίρνουμε σταθερό $\displaystyle{A(a,f(a))}$ . Η εφαπτομένη στην καμπύλη έχει την μορφή y=c_ox+d_o

. Αν

τυχαίο, εξ υποθέσεως
το σημείο $\displaystyle{B(b,f(b))}$ βρίσκεται στην παραπάνω ευθεία, δηλαδή ισχύει f(b) =c_ob +d_o

. Γράψε τώρα

στην θέση του

, και τελειώσαμε.

Υ.Γ. Μας αρκεί να υποθέσουμε παραγωγισιμότητα μόνο στο $\displaystyle{A(a,f(a))}$ .

Εφαπτόμενη - Ευθεία

Εφαπτόμενη - Ευθεία

Re: Εφαπτόμενη - Ευθεία

Re: Εφαπτόμενη - Ευθεία

Μέλη σε σύνδεση