Κάθετη διέρχεται από σταθερό σημείο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Κάθετη διέρχεται από σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 31, 2018 9:07 am

Εστω f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσημη

Σε κάθε σημείο της C_{f} φέρουμε κάθετη ευθεία στην εφαπτομένη.

Αν όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο

να δειχθεί ότι η C_{f} είναι μέρος κύκλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 709
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κάθετη διέρχεται από σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Οκτ 31, 2018 11:58 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Οκτ 31, 2018 9:07 am
Εστω f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσημη

Σε κάθε σημείο της C_{f} φέρουμε κάθετη ευθεία στην εφαπτομένη.

Αν όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο

να δειχθεί ότι η C_{f} είναι μέρος κύκλου.
Καταρχάς μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σταθερό σημείο είναι το (0,0). Διαφορετικά μετατοπίζουμε

κατάλληλα (οριζόντια-κατακόρυφα) τη γραφική παράσταση η οποία θα είναι πάλι γρ.παράσταση συνάρτησης.

Αν (x_0,f(x_0)) είναι το σημείο επαφής το διάνυσμα (x-x_0,y-f(x_0)) είναι παράλληλο στην

εφαπτομένη και το (y-f(x_0),-(x-x_0)) κάθετο σε αυτό. Η παράγωγος μπορεί να μηδενίζεται το πολύ

σε ένα σημείο. Πράγματι, αν μηδενιζονταν σε παραπάνω απο ένα σημεία τότε οι κάθετες ευθείες στις αντίστοιχες

εφαπτομένες θα ήταν μεταξύ τους παράλληλες και επομένως δεν θα πέρναγαν από το ίδιο σημείο. Πετάμε από το παιχνίδι

το τυχόν σημείο μηδενισμού τηςπαραγώγου. Τότε η κάθετη ευθεία στην εφαπτομένη θα έχει εξίσωση

y-f(x_0)=-\frac{1}{{f}'(x_0)}(x-x_0) και επειδή περνάει από το (0,0) παίρνουμε

0-f(x_0)=-\frac{1}{{f}'(x_0)}(0-x_0)\Rightarrow -f(x_0){f}'(x_0)=x_0\Rightarrow -2f(x_0){f}'(x_0)=2x_0

\Rightarrow -{(f^2(x_0))}'={(x^2)}'\Rightarrow f^2(x_0)=c-x_{0}^{2}\Rightarrow f^2(x_0)+x_{0}^{2}=c

To c είναι θετικό διαφορετικά αν c=0 θα είχαμε σταθερή συνάρτηση και όλες οι κάθετες θα

ήταν παράλληλες (άτοπο) και αν c<0 η τελευταία σχέση θα ήταν αδύνατη. Αν υπάρχει σημείο k

μηδενισμού της παραγώγου τότε από τη συνέχεια της f θα πρέπει να ικανοποιεί και αυτό την τελευταία σχέση.

Πράγματι c=\lim_{x\rightarrow k}\left (f^2(x)+x^2 \right )=f^2(k)+k^2.

Άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κάθετη διέρχεται από σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 31, 2018 2:20 pm

Λίγο διαφορετικά.

Αν (x,f(x))\in C_{f}

τότε η ευθεία που είναι κάθετη στην εφαπτομένη είναι y=f(x)-\frac{1}{f'(x)}(t-x),t\in \mathbb{R}

αν f'(x)\neq 0

και η t=x,t\in \mathbb{R}

αν f'(x)= 0

Και οι δυο περιπτώσεις συνοψίζονται στην

(f(x)-y)f'(x)=t-x,t\in \mathbb{R}

Εστω (c,d) το σταθερό σημείο.

Για x\in (a,b) θα έχουμε (f(x)-d)f'(x)=c-x
η ισοδύναμα

((f(x)-d)^{2}+(x-c)^{2})'=0

Κατά τα γνωστά θα είναι για x\in (a,b)

(f(x)-d)^{2}+(x-c)^{2}=r

πού δείχνει ότι η C_{f} είναι μέρος του κύκλου με κέντρο το (c,d) και ακτίνα \sqrt{r}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης