Με απλά υλικά (15)

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{x}},x\in R$ και το τυχαίο σημείο $\displaystyle A(a,f(a))$ της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
Έστω $\displaystyle (\varepsilon )$ η εφαπτόμενη ευθεία της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle \,A$ η οποία τέμνει τον άξονα $\displaystyle \,\,{x}'x\,\,$ στο σημείο $\displaystyle \,\,B$ .
α) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική θέση του $\displaystyle \,A$ ώστε η απόσταση $\displaystyle OA$ να γίνεται ελάχιστη .
β) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle a$ για τις οποίες το $\displaystyle B$ έχει αρνητική τετμημένη .
γ) Αν το $\displaystyle B$ έχει αρνητική τετμημένη , να βρείτε το $\displaystyle a$ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle OAB$ να είναι το μέγιστο δυνατό .
δ) Αν το $\displaystyle \,A$ έχει αρνητική τετμημένη και απομακρύνεται από τον $\displaystyle {y}'y\,$ με ταχύτητα $\displaystyle 1m/s$ να βρείτε το ρυθμό μεταβολής
του εμβαδού του τριγώνου $\displaystyle OAB$ τη στιγμή που αυτό είναι ισοσκελές .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

17)Για κάθε άσκηση που στέλνετε αναλαμβάνετε και την υποχρέωση , αν δεν δοθεί λύση , να στείλετε σε εύλογο χρονικό διάστημα ή εφόσον σας ζητηθεί την δική σας. Στην περίπτωση που δεν διαθέτετε λύση έχετε την ηθική υποχρέωση να το αναφέρετε ταυτόχρονα με την αποστολή της άσκησης.

#3

exdx έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 14, 2018 12:29 pm
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f(x)={{e}^{x}},x\in R$ και το τυχαίο σημείο $\displaystyle A(a,f(a))$ της $\displaystyle {{C}_{f}}$ .
Έστω $\displaystyle (\varepsilon )$ η εφαπτόμενη ευθεία της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο $\displaystyle \,A$ η οποία τέμνει τον άξονα $\displaystyle \,\,{x}'x\,\,$ στο σημείο $\displaystyle \,\,B$ .
α) Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική θέση του $\displaystyle \,A$ ώστε η απόσταση $\displaystyle OA$ να γίνεται ελάχιστη .
β) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle a$ για τις οποίες το $\displaystyle B$ έχει αρνητική τετμημένη .
γ) Αν το $\displaystyle B$ έχει αρνητική τετμημένη , να βρείτε το $\displaystyle a$ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle OAB$ να είναι το μέγιστο δυνατό .
δ) Αν το $\displaystyle \,A$ έχει αρνητική τετμημένη και απομακρύνεται από τον $\displaystyle {y}'y\,$ με ταχύτητα $\displaystyle 1m/s$ να βρείτε το ρυθμό μεταβολής
του εμβαδού του τριγώνου $\displaystyle OAB$ τη στιγμή που αυτό είναι ισοσκελές .

...επειδή παρουσιάζει εξεταστικό ενδιαφέρον, δίνω μιά αντιμετώπιση....

ΛΥΣΗ
α) Είναι η απόσταση $OA=d(\alpha )=\sqrt{{{\alpha }^{2}}+{{e}^{2a}}},\,\,a\in R$ που είναι συνάρτηση παραγωγίσιμη με

${d}'(\alpha )=\frac{2a+2{{e}^{2a}}}{2d(a)}=\frac{a+{{e}^{2a}}}{d(a)},\,\,\,a\in R$ και για την συνάρτηση του αριθμητή $g(a)=a+{{e}^{2a}}$

που είναι συνεχής με $g(-1)=-1+\frac{1}{{{e}^{2}}}<0,\,\,g(0)=1>0$ σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ${{x}_{0}}\in (-1,\,0)$ με

$g({{x}_{0}})=0$ που είναι και μοναδική αφού ${g}'(a)=1+2{{e}^{2a}}>0$ άρα η

γνήσια αύξουσα και '1-1'

έτσι για την

${d}'(\alpha )=\frac{g(a)}{d(a)},\,\,\,a\in R$ είναι για $a<{{x}_{0}}\Rightarrow g(a)<g({{x}_{0}})=0\Rightarrow {d}'(a)<0$ δηλαδή η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,\,\,{{x}_{0}}]$ και για $a>{{x}_{0}}\Rightarrow g(a)>g({{x}_{0}})=0\Rightarrow {d}'(a)>0$ δηλαδή

η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[{{x}_{0}},\,\,+\infty )$ έτσι στο ${{x}_{0}}\in (-1,\,0)$ είναι η μοναδική θέση του $\displaystyle \,A$

ώστε η απόσταση $\displaystyle OA$ να γίνεται ελάχιστη .

β) Η εφαπτομένη στο $\displaystyle A(a,f(a))$ είναι $y-{{e}^{a}}={{e}^{a}}(x-a)$ και αν το $B(\beta ,\,\,0)$ είναι το σημείο τομής με τον άξονα

$\displaystyle \,\,{x}'x\,\,$ ισχύει ότι $0-{{e}^{a}}={{e}^{a}}(\beta -a)\Leftrightarrow -1=\beta -a\Leftrightarrow \beta =a-1$

και είναι $\beta <0\Leftrightarrow a<1$

γ) Το εμβαδό του τριγώνου $OAB=\frac{1}{2}|\beta |{{e}^{a}}=\frac{1}{2}|a-1|{{e}^{a}}=\frac{1}{2}(1-a){{e}^{a}}$

και θεωρώντας την συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{2}(1-x){{e}^{x}},\,\,x\le 1$ έχουμε ότι ${g}'(x)=-\frac{1}{2}x{{e}^{x}},\,\,x\le 1$

που είναι ${g}'(x)<0\Leftrightarrow 0<x<1$ άρα

γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,\,1]$ και ${g}'(x)>0\Leftrightarrow x<0$

άρα

γνήσια αύξουσα στο $(-\infty ,\,0]$ επομένως στη θέση

έχουμε το εμβαδόν του τριγώνου

$\displaystyle OAB$ να είναι το μέγιστο δυνατό.

δ) ...ισοσκελές σε ποιες πλευρές;;;;;....

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Με απλά υλικά (15)

Με απλά υλικά (15)

Re: Με απλά υλικά (15)

Re: Με απλά υλικά (15)

Μέλη σε σύνδεση