Ερώτηση Σ-Λ

M.S.Vovos · #1

Να εξετάσετε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής:

Έστω $c\in \mathbb{R}^{*}$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle xe^{x}\geqslant -\frac{1}{ec}$ τότε .

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η άσκηση μου έφτασε στα χέρια από μαθητή. Αισθάνομαι ότι θα έπρεπε να δώσει επιπλέον τη συνθήκη $c\geqslant 1$ . Επίσης, δεν ξέρω πως θα μπορούσε να την χειριστεί ένας μαθητής που δεν ξέρει συνάρτηση Lambert.

Τσιαλας Νικολαος · #2

Με μελέτη μονοτονίας και εύρεση τοπικού ελαχίστου νομίζω βγαίνει εύκολα ότι ειναι ψευδής..

#3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 22, 2018 4:11 pm
Να εξετάσετε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής:

Έστω $c\in \mathbb{R}^{*}$ . Αν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle xe^{x}\geqslant -\frac{1}{ec}$ τότε .

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Η άσκηση μου έφτασε στα χέρια από μαθητή. Αισθάνομαι ότι θα έπρεπε να δώσει επιπλέον τη συνθήκη $c\geqslant 1$ . Επίσης, δεν ξέρω πως θα μπορούσε να την χειριστεί ένας μαθητής που δεν ξέρει συνάρτηση Lambert.

.
Δεν χρειάζεται η συνάρτηση Lambert. Η άσκηση είναι πολλή απλή. Αλλά και λάθος αν δεν βάλουμε στις υποθέσεις ότι $c\ge 1$ .

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή: Για την f(x)=xe^x

έχουμε

που μηδενίζεται μόνο στο x=-1

, και εύκολα βλέπουμε ότι είναι φθίνουσα αριστερά του

και αύξουσα δεξιά. Άρα στο

έχουμε ολικό ελάχιστο $f(-1)= -\frac {1}{e}$ . Συνεπώς

α) Αν $c=\frac {1}{2}$ σίγουρα ισχύει η $\displaystyle xe^{x}\geqslant -\frac{2}{e}$ για κάθε

διότι είναι $\displaystyle xe^{x}\geqslant -\frac{1}{e} \geqslant -\frac{2}{e}$ χωρίς να είναι c=1

. Άρα η άσκηση είναι προβληματική.

β) Αν όμως βάλουμε στις υποθέσεις το $c\ge 1$ τότε μαζί με την $\displaystyle xe^{x}\geqslant -\frac{1}{e} \geqslant -\frac{1}{ec}$ , ισοδύναμα $c\le 1$ , έπεται το ζητούμενο.

Ερώτηση Σ-Λ

Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Re: Ερώτηση Σ-Λ

Μέλη σε σύνδεση