Διαφορετικές διαφορές

KARKAR · #1

Είναι γνωστό ότι για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ , είναι : $\sin x<x$ και $x<\tan x$ . Και αναφύεται

το ερώτημα : Το

είναι πλησιέστερα στο $\sin x$ ή στην $\tan x$ ; Λοιπόν , για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ ,

δείξτε ότι ισχύει : $x-\sin x <\tan x-x$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:35 am
Είναι γνωστό ότι για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ , είναι : $\sin x<x$ και $x<\tan x$ . Και αναφύεται

το ερώτημα : Το είναι πλησιέστερα στο $\sin x$ ή στην $\tan x$ ; Λοιπόν , για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ ,

δείξτε ότι ισχύει : $x-\sin x <\tan x-x$

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = 2x - \sin x - \tan x$ που είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ με

$\displaystyle f'(x) = \frac{{2{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}} = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}(\cos x - 1)\left( {\cos x - \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)\left( {\cos x - \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right) < 0$

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ και $\displaystyle x > 0 \Rightarrow f(x) < f(0) \Leftrightarrow f(x) < 0$

Πληροφοριακά, το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι, $\displaystyle \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)} \right) = ( - \infty ,0)$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:35 am
Είναι γνωστό ότι για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ , είναι : $\sin x<x$ και $x<\tan x$ . Και αναφύεται

το ερώτημα : Το είναι πλησιέστερα στο $\sin x$ ή στην $\tan x$ ; Λοιπόν , για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ ,

δείξτε ότι ισχύει : $x-\sin x <\tan x-x$

.

Στο τριγωνομετρικό κύκλο η

είναι εφαπτόμενη. Παίρνουμε εμβαδά χωρίων. Αρκεί, εν τέλει, το κόκκινο να είναι μικρότερο του μπλε.

Προς τούτο αρκεί (AEG)<(EGD)

Αυτό είναι φανερό αφού AG=EG<GD

.

: 2.png (31.47 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:35 am
Είναι γνωστό ότι για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ , είναι : $\sin x<x$ και $x<\tan x$ . Και αναφύεται

το ερώτημα : Το είναι πλησιέστερα στο $\sin x$ ή στην $\tan x$ ; Λοιπόν , για κάθε $x \in (0,\dfrac{\pi}{2})$ ,

δείξτε ότι ισχύει : $x-\sin x <\tan x-x$

.
Μπορούμε πολύ καλύτερα. Αποδεικνύεται ότι για μικρά

είναι $x-\sin x \approx \dfrac {1}{2}(\tan x-x)$ (για μεγάλα

στο εν λόγω διάστημα δεν έχει ενδιαφέρον καθώς η εφαπτομένη είναι μεγάλη).

Το αποτέλεσμα αυτό στην ισοδύναμη μορφή $\tan x + 2 \sin x \approx 3x$ ήταν γνωστό από τον

-o αιώνα(!) αλλά δεν μπορώ να θυμηθώ ποιος το είχε διατυπώσει.

Για απόδειξη με σύγχρονα μέσα εύκολα βλέπουμε με διπλό l' Hospital (και αλλιώς) ότι $\displaystyle{\lim _{x\to 0} \dfrac {x-\sin x}{\tan x-x}= \dfrac {1}{2}}$

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 2:00 pm
Μπορούμε πολύ καλύτερα. Αποδεικνύεται ότι για μικρά είναι $x-\sin x \approx \dfrac {1}{2}(\tan x-x)$

Ας δούμε επίσης και την ανισότητα $\displaystyle x - \sin{x} < \frac{\tan{x}-x}{2}$ για $x \in (0,\pi/2)$ .

KARKAR · #6

Αρκεί ισοδύναμα να δείξω ότι : $2x<\sin x+\tan x$ . Θεωρώ την παραγωγίσιμη

στο $[0,\dfrac{\pi}{2})$ : $f(x)=\sin x+\tan x-2x$ , με f(0)=0

. Στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ , είναι :

$f'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2>\cos^2x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2 >0$ κ.λ.π.

αφού για $t \in (0,1)$ , ισχύει : t>t^2

και $t^2+\dfrac{1}{t^2}>2$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:13 pm
Αρκεί ισοδύναμα να δείξω ότι : $2x<\sin x+\tan x$ . Θεωρώ την παραγωγίσιμη

στο $[0,\dfrac{\pi}{2})$ : $f(x)=\sin x+\tan x-2x$ , με . Στο $(0,\dfrac{\pi}{2})$ , είναι :

$f'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2>\cos^2x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2 >0$ κ.λ.π.

αφού για $t \in (0,1)$ , ισχύει :

${\color{Red} 1\neq t^2}$

και,επομένως

$t^2+\dfrac{1}{t^2}>2$

#8

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:03 pm
Ας δούμε επίσης και την ανισότητα $\displaystyle x - \sin{x} < \frac{\tan{x}-x}{2}$ για $x \in (0,\pi/2)$ .

.
Ισοδυναμεί με $\displaystyle 2 \sin{x} +\tan{x}-3x >0$ για $x \in (0,\pi/2)$ .

Με χρήση ΑΜ-ΓΜ η παράσταση έχει παράγωγο

$\displaystyle 2 \cos {x} +\frac {1}{\cos ^2{x}}-3=2 c +\frac {1}{c^2}-3 = c+ c +\frac {1}{c^2}-3> 3\sqrt [3]{c\cdot c \cdot \frac {1}{c^2}} - 3 = 0$ (εδώ 0<c<1

). Και λοιπά.

Διαφορετικές διαφορές

Διαφορετικές διαφορές

Re: Διαφορετικές διαφορές

Re: Διαφορετικές διαφορές

Re: Διαφορετικές διαφορές

Re: Διαφορετικές διαφορές

Re: Διαφορετικές διαφορές

Re: Διαφορετικές διαφορές

Re: Διαφορετικές διαφορές

Μέλη σε σύνδεση