Εύρεση ακροτάτων

pito · #1

Καλησπέρα

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2},\leq 0\\ \frac{1}{x},0<x\leq 1\\ \sqrt{x},x>1\end{matrix}\right.$ . Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

#2

pito έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 09, 2018 1:35 pm
Καλησπέρα

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2},\leq 0\\ \frac{1}{x},0<x\leq 1\\ \sqrt{x},x>1\end{matrix}\right.$ . Nα μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Δεν χρειάζεται καθόλου χρήση παραγώγου. Θα την έβαζα ως άσκηση στην A' Λυκείου ακριβώς για να εκμαιεύσω λύσεις χωρίς χρήση παραγώγων και θα ζήταγα το γράφημα.

Στο θέμα μας: Με απλά αλγεβρικά εργαλεία (που άλλωστε οι μαθητές τα έχουν δει για ακριβώς αυτές τις τρεις συναρτήσεις) η x^2

είναι γνήσια φθίνουσα για $x\le 0$ , ομοίως η $\frac{1}{x},\, 0<x\leq 1$ και τέλος η $\sqrt{x},\, x>1$ είναι γνήσια αύξουσα. Είναι άμεσο (φαίνεται ωραιότατα στο γράφημα) ότι έχουμε ολικό ελάχιστο στο x=0

και τοπικό ελάχιστο στο x=1

.

Αν θέλαμε παραγώγους, το πρόσημό τους είναι άμεσο.

KARKAR · #3

: Τρίκλαδη.png (14.27 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

#4

Πόσο δίκιο έχει ο Μιχάλης, που παραπέμπει χωρίς δεύτερη κουβέντα στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, και ακόμη περισσότερο ο Θανάσης που σχεδιάζει μόνο τη γραφική παράσταση της συνάρτησης!
Την ίδια ακριβώς συνάρτηση (επεκτείνοντας το παράδειγμα της σελίδας 141 του σχολικού βιβλίου) είχα υποδείξει πριν μερικά χρόνια σε συναδέλφους που ζητούσαν, παραμονές των πανελλαδικών εξετάσεων, ιδέες για θέματα επανάληψης σε τμήματα Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου. Όλοι οι μαθητές που ασχολήθηκαν με το θέμα αυτό υπολόγιζαν σωστά την παράγωγο της συνάρτησης, κατασκεύαζαν σωστά τον πίνακα μεταβολών και απαντούσαν ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο μόνο στο σημείο x = 1 επειδή εκεί μεταβάλλεται το είδος μονοτονίας. Εφαρμόζοντας λανθασμένα (χωρίς έλεγχο της συνέχειας) το ίδιο κριτήριο και για το σημείο x = 0, όπου το είδος μονοτονίας εκατέρωθεν διατηρείται, κανείς δεν αντιλήφθηκε την ύπαρξη ακροτάτου και στο σημείο αυτό.
Το παράδειγμα δείχνει καθαρά σε τι καταστάσεις οδηγεί ο ανελέητος βομβαρδισμός των μαθητών στην Γ΄ Λυκείου με κάθε είδους «μεθοδολογία», πριν αυτοί αποκτήσουν κάποιο στοιχειώδες θεωρητικό υπόβαθρο στην Ανάλυση. Κυριολεκτικά καταστρέφει την ικανότητα να χρησιμοποιούν ακόμη και τις πιο βασικές γνώσεις που διδάχτηκαν στις προηγούμενες τάξεις, τον αλγεβρικό λογισμό και τις γραφικές παραστάσεις.
Αυτά βέβαια δεν καθόλου ανεξήγητα, αν λάβουμε υπόψη ότι το πρώτο πράγμα που ρώτησαν πολύ σοβαρά αρκετοί μαθητές (μόλις εξηγήθηκε το λάθος) ήταν, αν στις πανελλαδικές θα έπαιρναν τα μισά μόρια αφού βρήκαν το ένα ακρότατο!

Γιάννης Θωμαΐδης

Εύρεση ακροτάτων

Εύρεση ακροτάτων

Re: Εύρεση ακροτάτων

Re: Εύρεση ακροτάτων

Re: Εύρεση ακροτάτων

Μέλη σε σύνδεση