Το πολύ δύο κοινά σημεία

ann79 · #1

Αν η συνάρτηση

είναι κυρτή στο

και η συνάρτηση

είναι κοίλη στο

, να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. Θεωρείτε επαρκή την εκφώνηση;

#2

ann79 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 1:38 pm
Αν η συνάρτηση είναι κυρτή στο και η συνάρτηση είναι κοίλη στο , να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. Θεωρείτε επαρκή την εκφώνηση;

Αν είχαν τρία κοινά σημεία a<b<c

, όπου $f(a)=g(a), \, f(b)=g(b), \, f(c)=g(c) \, (*)$ θα ίσχυε

$\displaystyle{ \dfrac {f(b)-f(a)}{b-a}<\dfrac {f(c)-f(b)}{c-b}}$ ενώ αν αντικαταστήσουμε τα

με τα αντίστοιχα ίσα τους

από τις (*), η ανισότητα πρέπει να είναι ανάποδα. Άτοπο.

Tolaso J Kos · #3

ann79 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 1:38 pm
Αν η συνάρτηση είναι κυρτή στο και η συνάρτηση είναι κοίλη στο , να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. Θεωρείτε επαρκή την εκφώνηση;

Η συνάρτηση f-g

είναι κυρτή. Η παράγωγος f'-g'

είναι σαν συνάρτηση αύξουσα οπότε η f-g

έχει το πολύ δύο ρίζες αφού αν είχε παραπάνω τότε από Rolle θα είχαμε άτοπο.

Θεωρώ πως πρέπει να προστεθεί η παραγωγισιμότητα για να μαστε ΟΚ στα σχολικά μαθηματικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για μη σχολικά μαθηματικά πρέπει να προστεθεί ότι τουλάχιστον μια είναι γνήσια κυρτή η κοίλη .

Τότε η h=f-g

θα ήταν γνήσια κυρτή.

Αλλά αφού η

είναι γνήσια κυρτή θα έχουμε

Για a<b<c

είναι

$\displaystyle{ \dfrac {h(b)-h(a)}{b-a}<\dfrac {h(c)-h(b)}{c-b}}$

που δείχνει ότι δεν μπορούν να υπάρχουν τρεις η περισσότερες ρίζες της

Πράγμα που σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g

έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

Το πολύ δύο κοινά σημεία

Το πολύ δύο κοινά σημεία

Re: Το πολύ δύο κοινά σημεία

Re: Το πολύ δύο κοινά σημεία

Re: Το πολύ δύο κοινά σημεία

Μέλη σε σύνδεση