Ελάχιστο τμήμα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10568
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 18, 2019 9:42 am

Ε΄'αχιστο  τμήμα.png
Ε΄'αχιστο τμήμα.png (4.99 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές
Στις πλευρές \displaystyle{  και  } του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημεία S,T, ώστε : AS=BT .

Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος ST , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7973
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 18, 2019 11:09 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 18, 2019 9:42 am
Ε΄'αχιστο τμήμα.pngΣτις πλευρές \displaystyle{  και  } του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημεία S,T, ώστε : AS=BT .

Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος ST , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου .
Ελάχιστο τμήμα...png
Ελάχιστο τμήμα...png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές
Νόμος συνημιτόνων στο BST με \cos B =\dfrac{c}{a}, \displaystyle S{T^2} = {x^2} + {(c - x)^2} - 2x(c - x)\frac{c}{a}, απ' όπου

\displaystyle S{T^2} = \frac{{2(a + c)}}{a}{x^2} - \frac{{2c(a + c)}}{a}x + {c^2}, που ως τριώνυμο παρουσιάζει στο \boxed{{x_0} = \frac{c}{2}} (δηλαδή όταν S

είναι το μέσο του AB) ελάχιστη τιμή \boxed{ S{T_{\min }} = c\sqrt {\frac{{a - c}}{{2a}}}}


ΥΓ. Εναλλακτικά το ST υπολογίζεται και με θεώρημα Stewart στο BSC.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6455
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστο τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 18, 2019 12:28 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 18, 2019 9:42 am
Ε΄'αχιστο τμήμα.pngΣτις πλευρές \displaystyle{  και  } του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημεία S,T, ώστε : AS=BT .

Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος ST , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου .
Χρόνια πολλά Θανάση
Ελάχιστο τμήμα.png
Ελάχιστο τμήμα.png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

Το ελάχιστο τμήμα είναι η απόσταση AK του A από τη διχοτόμο της γωνίας \widehat {ABC}.

Υπολογισμός
Ελάχιστο τμήμα_Υπολογισμός.png
Ελάχιστο τμήμα_Υπολογισμός.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  AD = \frac{{bc}}{{a + c}} \hfill \\ 
  AK \cdot AZ = AD \cdot AN \hfill \\ 
  \frac{{BZ}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AD = \frac{{bc}}{{a + c}} \hfill \\ 
  2A{K^2} = AD \cdot AN \hfill \\ 
  AN = \frac{{bc}}{a} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{AN = \frac{{bc}}{{\sqrt {2a(a + c)} }}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστο τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιαν 18, 2019 8:10 pm

18-01-2019 Γεωμετρία.jpg
18-01-2019 Γεωμετρία.jpg (22.31 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές


Είναι άμεσα προφανές εποπτικά, ότι όσο μεγαλώνει το μήκος του AS τόσο μικραίνει το μήκος του ST. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα με τα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται με κορυφή το B.

Αναζητάμε, λοιπόν την μέγιστη τιμή του AS, για την οποία μπορεί να είναι AS=BT.

Με κέντρο το B και ακτίνα BT κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την AB στο K.

Τότε BK = AS, άρα μέγιστη τιμή για το AS θα έχουμε όταν ταυτίζονται τα S,K δηλαδή όταν AS = c/2.

Τότε  \displaystyle S{T^2} = B{S^2} + B{T^2} - 2BS \cdot BT\sigma \upsilon \nu {\rm B} = 2{\left( {\frac{c}{2}} \right)^2}\left( {1 - \frac{c}{a}} \right) = \frac{{{c^2}\left( {a - c} \right)}}{{2a}}

άρα  \displaystyle ST = c\sqrt {\frac{{a - c}}{{2a}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης