Από Σχολικό

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;

#2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 10:58 am
Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;

Στην τρίτη γραμμή από το τέλος θεωρεί $b\ne 0$ . Κανονικά η περίπτωση b=0

πρέπει να γίνει χωριστά, δηλαδή ο κλάδος της συνάρτησης για x>0

είναι

στην θέση του $e^{bx}$ .

Christos.N · #3

Γιατί πρέπει να γίνει αυτή η διάκριση;

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 11:41 am

Στην τρίτη γραμμή από το τέλος θεωρεί $b\ne 0$ . Κανονικά η περίπτωση πρέπει να γίνει χωριστά, δηλαδή ο κλάδος της συνάρτησης για είναι στην θέση του $e^{bx}$ .

και κατά την γνώμη σας που είναι το προβληματικό;

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 10:58 am
Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;

Εννοείτε και οι δύο στον κανόνα De L'Hospital όταν αυτός εφαρμόζεται;

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 10:58 am
Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;

Πώς τους ξέφυγε τέτοιο σφάλμα! Στην προτελευταία γραμμή χρησιμοποιεί την παραγωγισιμότητα που θέλει να αποδείξει.

Μάρκος Βασίλης · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 11:41 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 10:58 am
Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;
Στην τρίτη γραμμή από το τέλος θεωρεί $b\ne 0$ . Κανονικά η περίπτωση πρέπει να γίνει χωριστά, δηλαδή ο κλάδος της συνάρτησης για είναι στην θέση του $e^{bx}$ .

Νομίζω ότι, ακόμα και αν b=0

, ισχύουν όλοι οι ισχυρισμοί που κάνει. Καταχρηστικά, το όριο $\lim\limits_{x\to0}\frac{1-1}{x}$ είναι τη μορφής 0/0

και η σταθερή (μηδενική) συνάρτηση του αριθμητή είναι παραγωγίσιμη (άπειρες φορές).

Καταλαβαίνω ότι αυτό μπορεί να είναι σαν να χρησιμοποιείς κανόνι για να σκοτώσεις μία μύγα, εξ ου και οι όποιες διαφωνίες - σε επίπεδο διδασκαλίας - αλλά, τυπικά, δεν νομίζω ότι είναι λάθος.

Μάρκος Βασίλης · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 4:40 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 10:58 am
Στην εικόνα φαίνεται η άσκηση 3 σελ.168 παράγραφος 2.9 και η λύση που δίνει το λυσάρι. Εντοπίζετε κάποιο προβληματικό σημείο στη λύση;
Πώς τους ξέφυγε τέτοιο σφάλμα! Στην προτελευταία γραμμή χρησιμοποιεί την παραγωγισιμότητα που θέλει να αποδείξει.

Ως προς αυτό, νομίζω ότι είναι πρόβλημα όλου του σχολικού βιβλίου, όταν αποδεικνύει π.χ. ανισότητες όπως οι $e^x\geq x+1$ και $\ln x\leq x-1$ χρησιμοποιώντας την παραγωγισιμότητα των συναρτήσεων, ενώ αυτές οι ανισότητες χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι είναι παραγωγίσιμες. Επομένως, η εφαρμογή των κανόνων του l'Hospital σε περιπτώσεις «ορισμού» μιας παραγώγου είναι μία «αναμενόμενη» κυκλικότητα στα επιχειρήματα του βιβλίου.

#7

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 4:43 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 11:41 am

Στην τρίτη γραμμή από το τέλος θεωρεί $b\ne 0$ . Κανονικά η περίπτωση πρέπει να γίνει χωριστά, δηλαδή ο κλάδος της συνάρτησης για είναι στην θέση του $e^{bx}$ .
Νομίζω ότι, ακόμα και αν , ισχύουν όλοι οι ισχυρισμοί που κάνει.

Παρ' όλο που έχω ήδη απαντήσει με το αρχικό μου ποστ, ας επανέλθω.

Δεν είπα ότι αν b=0, x>0

τότε η ισότητα οι ισότητα $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {1-1}{x-0}$ είναι λάθος. Είπα ότι ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΧΩΡΙΣΤΑ (η έμφαση είναι "πρέπει"). Εξηγούμαι, η λύση γράφει $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {e^{bx}-1}{x-0}$ .

Τυχαίνει ότι στην περίπτωση b=0

τα δύο να είναι ίσα. Όμως είναι μέρος της λύσης (και άρα κενό του λύτη) να πει ότι εδώ (στην χωριστή περίπτωση) είναι $e^{bx}=1$ οπότε έχουμε δικαίωμα να γράψουμε το παραπάνω.

Christos.N · #8

Επειδή ακόμα μαθαίνω και θέλω να καταλάβω, αν και δεν μου αρέσουν τα κεφαλαία, ωστόσο το:

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 5:36 pm
...
Δεν είπα ότι αν τότε η ισότητα οι ισότητα $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {1-1}{x-0}$ είναι λάθος. Είπα ότι ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΧΩΡΙΣΤΑ (η έμφαση είναι "πρέπει"). Εξηγούμαι, η λύση γράφει $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {e^{bx}-1}{x-0}$ .

Τυχαίνει ότι στην περίπτωση τα δύο να είναι ίσα. Όμως είναι μέρος της λύσης (και άρα κενό του λύτη) να πει ότι εδώ (στην χωριστή περίπτωση) είναι $e^{bx}=1$ οπότε έχουμε δικαίωμα να γράψουμε το παραπάνω.

δηλαδή έχουμε το δικαίωμα να γράψουμε σε κάθε περίπτωση $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {e^{bx}-1}{x-0}$ αφού το πηλίκο μεταβολών είναι καλά ορισμένο σε μια περιοχή δεξιά του 0 , αλλά πρέπει να ξεχωρίσουμε περιπτώσεις, γιατί αυτό το τελευταίο ;

Υ.Γ.: Έχω διαβάσει καλά όλα όσα έχουν γραφτεί.

Μάρκος Βασίλης · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 5:36 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 4:43 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 25, 2019 11:41 am

Στην τρίτη γραμμή από το τέλος θεωρεί $b\ne 0$ . Κανονικά η περίπτωση πρέπει να γίνει χωριστά, δηλαδή ο κλάδος της συνάρτησης για είναι στην θέση του $e^{bx}$ .
Νομίζω ότι, ακόμα και αν , ισχύουν όλοι οι ισχυρισμοί που κάνει.

Παρ' όλο που έχω ήδη απαντήσει με το αρχικό μου ποστ, ας επανέλθω.

Δεν είπα ότι αν τότε η ισότητα οι ισότητα $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {1-1}{x-0}$ είναι λάθος. Είπα ότι ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΧΩΡΙΣΤΑ (η έμφαση είναι "πρέπει"). Εξηγούμαι, η λύση γράφει $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {e^{bx}-1}{x-0}$ .

Τυχαίνει ότι στην περίπτωση τα δύο να είναι ίσα. Όμως είναι μέρος της λύσης (και άρα κενό του λύτη) να πει ότι εδώ (στην χωριστή περίπτωση) είναι $e^{bx}=1$ οπότε έχουμε δικαίωμα να γράψουμε το παραπάνω.

Αυτό που νομίζω ότι δεν είναι σαφές - ή δεν καταλαβαίνω εγώ - είναι σε τι αναφέρεται το «πρέπει»;

Είναι θέμα διδακτικής προσέγγισης; Δηλαδή, θα έπρεπε να είναι σαφές προς τους μαθητές;

Είναι θέμα ορισμού των εκθετικών συναρτήσεων στο σχολείο; Δηλαδή, επειδή $e^{\beta x}=(e^\beta)^x$ και για $\beta=0$ έχουμε 1^x

που στο σχολικό βιβλίο της Β' δεν είναι εκθετική συνάρτηση, πρέπει να πάρουμε ξεχωριστή περίπτωση;

Είναι κάτι άλλο που ενδεχομένως δεν βλέπω αυτή τη στιγμή;

Αυτό νομίζω ότι θολώνει λίγο τα νερά σε σχέση με το αρχικό ποστ και προκαλεί την όποια κουβέντα.

Christos.N · #10

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:46 pm

Είναι θέμα ορισμού των εκθετικών συναρτήσεων στο σχολείο; Δηλαδή, επειδή $e^{\beta x}=(e^\beta)^x$ και για $\beta=0$ έχουμε που στο σχολικό βιβλίο της Β' δεν είναι εκθετική συνάρτηση, πρέπει να πάρουμε ξεχωριστή περίπτωση;

Βασίλη αυτό είναι το μεμπτό στοιχείο, παραγωγίζει την συνάρτηση όταν κάνει De L' Hospital με τον ορισμό της εκθετικής (και της σύνθεσης αυτής) και δεν είναι τέτοια για κάθε τιμή του $\beta$ , μπράβο σου.

#11

Καλησπέρα σε όλους. Για λόγους πληρότητας του θέματος συμπληρώνω τα εξής:

Είναι εξαιρετική σύμπτωση η επαναφορά του θέματος από τον Χρήστο ταυτόχρονα με την παρουσίαση στο 36ο Συνέδριο της ΕΜΕ στη Λάρισα της πολύ ενδιαφέρουσας εργασίας των Χρήστου Κυριαζή και Λευτέρη Πρωτοπαππά που αναφέρονται στην άσκηση αυτή (με παραπομπή στην ανάρτηση του mathematica). (Βλέπετε ΕΔΩ, σελ. 513).

Γράφουν, μετά την παρουσίαση της λύσης από το σχολικό λυσάρι:

Εδώ αξίζει να ζητήσουμε από τους μαθητές αν η διαδικασία επίλυσης είναι σωστή και αν λάβουμε θετική απάντηση να τους ζητήσουμε να ελέγξουν τι συμβαίνει όταν . Αφού δουν τότε ότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο πρέπει να τους ζητήσουμε να μας πουν που υπάρχει πρόβλημα στην πορεία λύσης και φυσικά να καταλήξουμε πως δεν έγινε σωστή διερεύνηση όσον αφορά τη μεταβλητή (mathematica.gr, 2019). Έπρεπε να γίνει έλεγχος για την περίπτωση που σταθεροποιεί τον ένα από τους δύο κλάδους της συνάρτησης , οπότε οι συνθήκες του θεωρήματος de l’ Hospital δεν ικανοποιούνται και πρέπει να κινηθούμε αλλιώς (με χρήση του ορισμού και απόδειξη μη παραγωγισιμότητας της συνάρτησης σε αυτήν την περίπτωση). Το δίδαγμα είναι πως η διερεύνηση πρέπει να γίνεται για κάθε τιμή της παραμέτρου που μεταβάλλει τη μορφή της συνάρτησης ή γενικότερα της άσκησης.

kostas.zig · #12

Δεν ξέρω Γιώργο αν είναι σύμπτωση, σίγουρα όμως είναι πάλι ένα εξαιρετικό παράδειγμα του τρόπου και της δυναμικής που αναπτύσσεται σε μια ωραία μαθηματική κοινότητα. Μέσα από την συζήτηση και το θέμα που αρχικά παρατηρεί κάποιος συνάδελφος καταλήγουμε και σε μια εισήγηση σε θέματα που διαφεύγουν της προσοχής μας!

Μπράβο στον Λάμπρο Κατσάπα για την έναρξη του θέματος, στα μέλη που συμμετείχαν και φυσικά στους Λευτέρη Πρωτοπαππά και Χρήστο Κυριαζή για την εισήγησή τους.

#13

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 5:36 pm
Παρ' όλο που έχω ήδη απαντήσει με το αρχικό μου ποστ, ας επανέλθω.

Δεν είπα ότι αν τότε η ισότητα οι ισότητα $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {1-1}{x-0}$ είναι λάθος. Είπα ότι ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΧΩΡΙΣΤΑ (η έμφαση είναι "πρέπει"). Εξηγούμαι, η λύση γράφει $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {e^{bx}-1}{x-0}$ .

Τυχαίνει ότι στην περίπτωση τα δύο να είναι ίσα. Όμως είναι μέρος της λύσης (και άρα κενό του λύτη) να πει ότι εδώ (στην χωριστή περίπτωση) είναι $e^{bx}=1$ οπότε έχουμε δικαίωμα να γράψουμε το παραπάνω.

Μου δίνεται λοιπόν η ευκαιρία να αναλύσω ένα λεπτό σημείο.

Η λύση του βιβλίου προχωρά από τους ορισμούς (το ότι αργότερα κάνει το λάθος να χρησιμοποιήσει την παραγωγισιμότητα μέσα στον l' Hospital, είναι ένα επιπρόσθετο ατυχές βήμα). Ας δούμε λοιπόν τι τρέχει πηγαίνοντας και εμείς από τους ορισμούς. Aκολουθώ τα βήματα του βιβλίου, πλην την κυκλική χρήση του l' Hospital.

Θέλουμε να βρούμε το όριο στο

του $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {e^{bx} -1}{x-0}$ . Λέμε λοιπόν

$\displaystyle{\dfrac {e^{bx} -1}{x-0}= b \cdot \frac {e^{bx} -1}{bx-0} \, (*)}$ δηλαδή, γράφοντας y=bx

, είναι $b \cdot \dfrac {e^{y} -1}{y-0}$ . Το τελευταίο, με $y\to 0$ το αναγνωρίζουμε ως την παράγωγο της e^y

στο

, δηλαδή

.

Σωστά;

Όχι ακριβώς. Αν κοιτάξουμε την (*)

για

έχουμε γράψει $0 \cdot \frac {e^{0} -1}{0-0} \, (**)$ .

Όλοι θα συμφωνήσουμε ότι το (**)

είναι προβληματικό. Με απλά λόγια πρέπει να εξετάσουμε την περίπτωση b=0

χωριστά.

Και αυτό κάνουμε όταν πάμε να βρούμε την παράγωγο της $e^{bx}$ , για να καταλήξουμε ότι ισούται με $be^{bx}$ . Για $b\ne 0$ , το κάναμε. Για b=0

κάνουμε άλλη πορεία λέγοντας ότι τότε (θα είμαι επίτηδες αναλυτικός παρ' όλο το τετριμμένο του βήματος) είναι $f(x)= e^{0x} =1$ άρα $\frac {f(x)-f(0)}{x-0} = \frac {1-1}{x-0} \to 0$ . Παρατηρούμε σε αυτό το σημείο ότι το αποτέλεσμα που βρήκαμε, δηλαδή $( e^{bx})'= b e^{bx}$ για $b\ne 0$ εξακολουθεί να ισχύει και για b=0

. Με άλλα λόγια, δείξαμε $( e^{bx})'= b e^{bx}$ είτε $b\ne 0$ ή b=0

. Δηλαδή γράφουμε $( e^{bx})'= b e^{bx}$ (χωρίς περιορισμό για το

).

Αυτό ήταν όλο, γι' αυτό λέω ότι η περίπτωση b=0

πρέπει να γίνει χωριστά. Εν κατακλείδι, ισχύει αυτό που πάντα ξέραμε αλλά για να ακριβολογήσουμε πρέπει να προσέξουμε το μικρό κενό στην πορεία της απόδειξης.

(Υπάρχουν και άλλες πορείες για να βρούμε την παράγωγο της $e^{bx}$ , οι οποίες παρακάμπτουν την ανάγκη χωριστής μελέτης της περίπτωσης b=0

- ξέρω τουλάχιστον οκτώ τέτοιους τρόπους. Όμως έχω την συγκεκριμένη πορεία γιατί αυτήν ακολουθεί η συγκεκριμένη λύση του βιβλίου).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #14

Θα ήμουν ευτυχής αν κάποιος μου έλεγε που είναι το λάθος στο
παρακάτω .
Εστω $b\in \mathbb{R}$

Είναι

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{e^{bx}-1}{x}=^{\frac{0}{0}}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(e^{bx}-1)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{be^{bx}}{1}=b$

Apo.Antonis · #15

κ. Λάμπρου, κάνετε δεύτερη φορά αναφορά στην παραγωγισιμότητα για τον κανόνα του De L'Hospital,
που είναι το λάθος έτσι όπως δίνεται το θεώρημα στο βιβλίο; Αν υποθέσουμε βέβαια ότι $\beta \neq 0$ .

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 8:29 pm
... οπότε οι συνθήκες του θεωρήματος de l’ Hospital δεν ικανοποιούνται ...

ποιά προϋπόθεση δεν ισχύει;
Η λύση έχει το πρόβλημα ή το θεώρημα;

#16

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 9:53 pm
Θα ήμουν ευτυχής αν κάποιος μου έλεγε που είναι το λάθος στο
παρακάτω .
Εστω $b\in \mathbb{R}$

Είναι

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{e^{bx}-1}{x}=^{\frac{0}{0}}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(e^{bx}-1)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{be^{bx}}{1}=b$

Σταύρο, δεν είναι λάθος αυτό και ούτε ισχυρίστηκα ότι είναι.

Η ένστασή μου στην απόδειξη του βιβλίου είναι ότι θέλει να αποδείξει ότι είναι παραγωγίσιμη η $e^{bx}$ (πλευρικά) οπότε δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι παραγωγίσιμη (που χρειάζεται στον l' Hospital) αλλά πρέπει να το αποδείξουμε an initio για να μην κάνουμε κυκλικό συλλογισμό.

Για παράδειγμα δεν μπορούμε να αποδείξουμε την παραγωγισιμότητα της $\sin x$ στο

λέγοντας

$\displaystyle{ \lim _{x\to 0} \frac {\sin x - 0 }{x-0} = ^{\frac{0}{0}} = \frac {(\sin x - 0)'}{(x-0)' }= \lim _{x\to 0} \frac {\cos x }{1 }=1}$ .

εκτός αν δώσει κανείς άλλον ορισμό του $\sin x$ , δηλαδή ένα από τα ισοδύναμα (π.χ. δυναμοσειρά ή κατάλληλη συναρτησιακή σχέση ή .... ή έναν από τους

τρόπους που έχει η διατριβή του Ν. Ζουρμπάκη που εκπόνησε υπό την επίβλεψή μου) και φύγει από τον γεωμετρικό του Σχολικού.

Apo.Antonis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 10:20 pm
κ. Λάμπρου, κάνετε δεύτερη φορά αναφορά στην παραγωγισιμότητα για τον κανόνα του De L'Hospital,
που είναι το λάθος έτσι όπως δίνεται το θεώρημα στο βιβλίο; Αν υποθέσουμε βέβαια ότι $\beta \neq 0$ .

Δεν είπα αυτό. Η παράγραφος αμέσως από πάνω διευκρινίζει την ένστασή μου στον l' Hospital για την συγκεκριμένη λύση.

Christos.N · #17

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 8:29 pm
Καλησπέρα σε όλους. Για λόγους πληρότητας του θέματος συμπληρώνω τα εξής:

Είναι εξαιρετική σύμπτωση η επαναφορά του θέματος από τον Χρήστο

Όχι δεν είναι σύμπτωση Γιώργο. Οι συγγραφείς της εργασίας αναφέρουν:

.... οπότε οι συνθήκες του θεωρήματος de l’ Hospital δεν ικανοποιούνται και πρέπει να κινηθούμε αλλιώς....

Γιώργο δεν νομίζω ότι δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες αλλά πολύ περισσότερο όπως σημειώνει ο Μάρκος εδώ:

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:46 pm

Είναι θέμα ορισμού των εκθετικών συναρτήσεων στο σχολείο; Δηλαδή, επειδή $e^{\beta x}=(e^\beta)^x$ και για $\beta=0$ έχουμε που στο σχολικό βιβλίο της Β' δεν είναι εκθετική συνάρτηση, πρέπει να πάρουμε ξεχωριστή περίπτωση;

Δηλαδή δεν έχουμε την παράγωγο της σωστής συνάρτησης, παραγωγίζουμε μια συνάρτηση εκθετική αντί να παραγωγίσουμε την σταθερή συνάρτηση.

Υ.Γ. Έγινε μια διόρθωση στο quote με το κείμενο των συγγραφέων γιατί μπορούσε να γίνει παρανόηση ότι παραπεμπόταν στον Γιώργο και όχι άμεσα στο καθαυτό κείμενο. Γιώργο συγνώμη αν σε έφερα σε δύσκολη θέση.

Apo.Antonis · #18

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:00 pm
Δεν είπα αυτό. Η παράγραφος αμέσως από πάνω διευκρινίζει την ένστασή μου στον l' Hospital για την συγκεκριμένη λύση.

Μα τώρα πάλι γράφετε το ίδιο. Χρησιμοποείτε την ισχυρή διατύπωση του θεωρήματος -αν καταλαβαίνω σωστά-
που δεν είναι αυτή που δίνεται στο σχολικό.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:00 pm
Η ένστασή μου στην απόδειξη του βιβλίου είναι ότι θέλει να αποδείξει ότι είναι παραγωγίσιμη η $e^{bx}$ (πλευρικά) οπότε δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι παραγωγίσιμη (που χρειάζεται στον l' Hospital) αλλά πρέπει να το αποδείξουμε an initio για να μην κάνουμε κυκλικό συλλογισμό.

Apo.Antonis · #19

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:03 pm

Γιώργο δεν νομίζω ότι δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες αλλά πολύ περισσότερο όπως σημειώνει ο Μάρκος εδώ:

έχω τον ίδιο προβληματισμό ως προς το τι σημαίνει "δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες"
Οι συνθήκες -οι ανύπαρκτες- στο σχολικό ή γενικά;

Ο κανόνας δεν ισχύει για συναρτήσεις οι οποίες έχουν ένα μόνο σταθερό όριο (και έτσι συμπεριλαμβάνεται και η σταθερή συνάρτηση)
Δεν μπορώ να καταλάβω αν αναφέρεται σε αυτό το κείμενο της εργασίας, μια τοποθέτηση θα ήταν διαφωτιστική.

Christos.N · #20

Apo.Antonis έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 11:37 pm
Δεν μπορώ να καταλάβω αν αναφέρεται σε αυτό το κείμενο της εργασίας, μια τοποθέτηση θα ήταν διαφωτιστική.

Θα συμφωνήσω μαζί σου, η δημοσίευση έγινε από τους συγγραφείς στο συνέδριο και δημοσιεύτηκε στα πρακτικά, είχαν την καλοσύνη να την δημοσιεύσουν στο

για εμάς που δεν πήγαμε στο συνέδριο είναι και οι δύο μέλη , το μόνο που μένει είναι να μας διαφωτίσουν. Σημειωτέον την δημοσίευση την ανέσυρα και την επανέφερα αφού διάβασα την εργασία τους και τα μοναδικά ποστ που είχαν γραφτεί ήταν τα #1,#2 αυτό μπορεί εύκολα κάποιος να το διαπιστώσει αν δει τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές στο παρών και σε αυτό.

Από Σχολικό

Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Re: Από Σχολικό

Μέλη σε σύνδεση